Question

計(jì)劃在某水庫(kù)建一座至多安裝3臺(tái)發(fā)電機(jī)的水電站，過(guò)去50年的水文資料顯示，水庫(kù)年入流量(年入流量：一年內(nèi)上游來(lái)水與庫(kù)區(qū)降水之和.單位：億立方米）都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超過(guò)120的年份有35年，超過(guò)120的年份有5年.將年入流量在以上三段的頻率作為相應(yīng)段的概率，并假設(shè)各年的年入流量相互獨(dú)立.
（1）求未來(lái)4年中，至多1年的年入流量超過(guò)120的概率；
（2）水電站希望安裝的發(fā)電機(jī)盡可能運(yùn)行，但每年發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺(tái)數(shù)受年入流量限制，并有如下關(guān)系:

年入流量
發(fā)電量最多可運(yùn)行臺(tái)數(shù)	1	2	3

 
若某臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，則該臺(tái)年利潤(rùn)為5000萬(wàn)元；若某臺(tái)發(fā)電機(jī)未運(yùn)行，則該臺(tái)年虧損800萬(wàn)元，欲使水電站年總利潤(rùn)的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)多少臺(tái)？

Answer 1

（1）0.9477；（2）8620, 2.

解析試題分析：（1）先求，，，再利用二項(xiàng)分布求解；（2）記水電站年總利潤(rùn)為（單位：萬(wàn)元）①安裝1臺(tái)發(fā)電機(jī)的情形.②安裝2臺(tái)發(fā)電機(jī).③安裝3臺(tái)發(fā)電機(jī)，分別求出，比較大小，再確定應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)臺(tái)數(shù).
（1）依題意，，
，，
由二項(xiàng)分布，在未來(lái)4年中至多有1年入流量找過(guò)120的概率為：
.
（2）記水電站年總利潤(rùn)為（單位：萬(wàn)元）
①安裝1臺(tái)發(fā)電機(jī)的情形.
由于水庫(kù)年入流量總大于40，所以一臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行的概率為1，
對(duì)應(yīng)的年利潤(rùn)，.
②安裝2臺(tái)發(fā)電機(jī).
當(dāng)時(shí)，一臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)，
因此，
當(dāng)時(shí)，兩臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)，
因此.由此得的分布列如下：

	4200	10000
	0.2	0.8

 
所以.
③安裝3臺(tái)發(fā)電機(jī).
依題意，當(dāng)時(shí)，一臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)，
因此；
當(dāng)時(shí)，兩臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)，
此時(shí)，
當(dāng)時(shí)，三臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)，
因此，
由此得的分布列如下：

	34	9200	15000
	0.2	0.8	0.1

 
所以.
綜上，欲使水電站年總利潤(rùn)的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)2臺(tái).
考點(diǎn)：二項(xiàng)分布，隨機(jī)變量的均值.