Question

已知函數(shù)g（x）=sinx-cosx，且f（x）=g′（x）（g（x）+cosx）
（Ⅰ）當時，f（x）函數(shù)的值域；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，若，求角C．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求出g（x）的導函數(shù)，把求出的導函數(shù)和g（x）代入到f（x）中，利用兩角差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡為一個角的正弦函數(shù)，根據x的范圍求出2x-的范圍，利用正弦函數(shù)的圖象可得到f（x）的值域；
（Ⅱ）根據f（A）=，把x=A代入第一問求出的f（x）的解析式中，得到的函數(shù)值等于1，得到sin（2A-）的值，根據A的范圍得到2A-的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出A的度數(shù)，然后利用正弦定理，由a，b及求出的sinA的值即可求出sinB的值，根據B的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出B的度數(shù)，根據三角形的內角和定理即可求出C的度數(shù)．
解答：解：（Ⅰ）由函數(shù)g（x）=sinx-cosx，得到g′（x）=cosx+sinx，
代入f（x）得：，（3分）
∵，
∴2x，
∴0≤，
∴f（x）的值域；（7分）
（Ⅱ）∵，
∴，
又∵0＜A＜π，∴，（10分）
∵，
∴
∴．（14分）
點評：此題考查學生靈活運用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡求值，靈活運用正弦定理化簡求值，是一道中檔題．學生做題時時刻注意角度的范圍．