Question

8．已知$f（x）=4\sqrt{3}sinxcosx-4{cos^2}x+5，x∈R$
（1）求f（x）取得最大值時(shí)x的集合
（2）求f（x）的單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

分析 化簡三角函數(shù)，由整體法和三角函數(shù)的單調(diào)性易得f（x）單調(diào)性和最值

解答 解：（1）f（x）=4$\sqrt{3}$sinxcosx-4cos²x+5=2$\sqrt{3}$sin2x-2cos2x+3=4sin（2x-$\frac{π}{6}$）+3，
當(dāng)2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$+2kπ時(shí)，即x=$\frac{π}{3}$+kπ，k∈Z時(shí)，f（x）取的最大值，
故f（x）取得最大值時(shí)x的集合為{x|x=$\frac{π}{3}$+kπ，k∈Z}；
（2）由（1）知，-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
解得-$\frac{π}{6}$+kπ≤x≤$\frac{π}{3}$+kπ，k∈Z，
故f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[-$\frac{π}{6}$+kπ，$\frac{π}{3}$+kπ]，k∈Z．

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩角和與差的正弦函數(shù)二倍角公式，涉及三角函數(shù)的單調(diào)性和最值，屬基礎(chǔ)題．