分析 (I)直線l過(guò)點(diǎn)A(-2,0),故可以設(shè)出直線l的點(diǎn)斜式方程,又由直線被圓C1截得的弦長(zhǎng)為2√3,根據(jù)半弦長(zhǎng)、半徑、弦心距滿(mǎn)足勾股定理,求出弦心距,即圓心到直線的距離,得到一個(gè)關(guān)于直線斜率k的方程,解方程求出k值,可求直線l的方程.
(II)設(shè)出過(guò)P點(diǎn)的直線l1與l2的點(diǎn)斜式方程,根據(jù)⊙C1和⊙C2的半徑相等,及直線l1被圓C1截得的弦長(zhǎng)與直線l2被圓C2截得的弦長(zhǎng)相等,可得⊙C1的圓心到直線l1的距離和圓C2的圓心到直線l2的距離相等,故我們可以得到一個(gè)關(guān)于直線斜率k的方程,即可以求所有滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo).
解答 解:(I)當(dāng)直線l過(guò)點(diǎn)A(-2,0),且斜率不存在時(shí),l的方程為x=-2
由{(x+3)3+(y−1)2=4x=−2得y=1±√3,此時(shí)直線l被圓C1截得的弦長(zhǎng)為2√3,滿(mǎn)足題意;…(2分)
當(dāng)直線l斜率存在時(shí),設(shè)直線l的方程為y-k(x+2)
由直線l圓C1截得的弦長(zhǎng)為2√3,可得圓心(-3,1)到直線l的距離為1
由|−3k−1+2k|√1+k2=1解得k=0.
故直線l的方程為y=0…(5分)
綜上,滿(mǎn)足條件的直線l有兩條,方程分別為x=-2和y=0;…(6分)
(II)設(shè)點(diǎn)P(a,b)滿(mǎn)足條件,不妨設(shè)直線l1的方程為y-b=k(x-a),k≠0
則直線l2方程為:y-b=-1k(x-a)(7分)
∵⊙C1和⊙C2的半徑相等,及直線l1被圓C1截得的弦長(zhǎng)與直線l2被圓C2截得的弦長(zhǎng)相等,
∴⊙C1的圓心到直線l1的距離和圓C2的圓心到直線l2的距離相等
即|1−k(−3−a)−b|√1+k2=|5+1k(4−a)−b|√1+1k2(8分)
整理得|1+3k+ak-b|=|5k+4-a-bk|
∴1+3k+ak-b=±(5k+4-a-bk)即(a+b-2)k=b-a+3或(a-b+8)k=a+b-5
因k的取值有無(wú)窮多個(gè),所以{a+b−2=0b−a+3=0或{a−b+8=0a+b−5=0(10分)
解得{a=52b=−12或{a=−32b=132,
這樣的點(diǎn)只可能是點(diǎn)P1(52,-12)或點(diǎn)P2(-32,132)
經(jīng)檢驗(yàn)點(diǎn)P1和P2滿(mǎn)足題目條件.…(12分)
點(diǎn)評(píng) 本題是中檔題,考查點(diǎn)到直線的距離公式,直線與圓的位置關(guān)系,對(duì)稱(chēng)的知識(shí),注意方程無(wú)數(shù)解的條件,考查轉(zhuǎn)化思想,函數(shù)與方程的思想,�?碱}型.
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A. | [-1,0] | B. | [0,1] | C. | (-∞,-1) | D. | [1,+∞) |
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年齡(歲) | 頻率 | |
第1組 | [25,30) | 0.1 |
第2組 | [30,35) | 0.1 |
第3組 | [35,40) | 0.4 |
第4組 | [40,45) | 0.3 |
第5組 | [45,50] | 0.1 |
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