Question

設(shè)向量a＝(x，2)，b＝(x＋n，2x－1)(n∈N⁺)，函數(shù)y＝a·b在[0，1]上的最小值與最大值的和為a_n，又?jǐn)?shù)列{b_n}滿足：nb₁＋(n－1)b₂＋…＋2b_n－1＋b_n＝．

(1)求證：a_n＝n＋1；

(2)求b_n的表達(dá)式；

(3)c_n＝－a_n·b_n，試問數(shù)列{c_n}中，是否存在正整數(shù)k，使得對(duì)于任意的正整數(shù)n，都有c_n≤c_k成立？證明你的結(jié)論．

Answer 1

答案：
解析：

(1)證明：a·b＝，因?yàn)閷?duì)稱軸， 　　所以在[0，1]上為增函數(shù)，　4分 　　(2)解：由 　　得 　　兩式相減得，　5分 　　當(dāng)時(shí)，　6分 　　當(dāng)n≥2時(shí)，　7分 　　即　8分 　　(3)解：由(1)與(2)得　9分 　　設(shè)存在正整數(shù)，使得對(duì)于任意的正整數(shù)，都有≤成立， 　　當(dāng)時(shí)，　10分 　　當(dāng)≥2時(shí)，， 　　所以當(dāng)時(shí)，，　11分 　　當(dāng)時(shí)，，　12分 　　當(dāng)時(shí)，　15分 　　所以存在正整數(shù)，使得對(duì)于任意的正整數(shù)，都有≤成立．　14分