Question

甲、乙兩人在一場(chǎng)五局三勝制的象棋比賽中，規(guī)定甲或乙無(wú)論誰(shuí)先贏滿(mǎn)三局就獲勝，并且比賽就此結(jié)束．現(xiàn)已知甲、乙兩人每比賽一局甲取勝的概率是

2

3

，乙取勝的概率為

1

3

，且每局比賽的勝負(fù)是獨(dú)立的，試求下列問(wèn)題：
（Ⅰ）比賽以甲3勝1而結(jié)束的概率；
（Ⅱ）比賽以乙3勝2而結(jié)束的概率；
（Ⅲ）設(shè)甲獲勝的概率為a，乙獲勝的概率為b，求a：b的值．

Answer 1

分析：（I）每局比賽的勝負(fù)是獨(dú)立的，這是一個(gè)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，比賽以甲3勝1而結(jié)束，則第四局一定甲勝，前三局中甲勝兩局，寫(xiě)出概率．
（Ⅱ） 比賽以乙3勝2而結(jié)束，則第五局一定乙勝，前四局中乙勝兩局，根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率和獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)寫(xiě)出結(jié)果
（Ⅲ）甲先勝3局的情況有3種：3勝無(wú)敗，3勝1敗，3勝2敗，這三種事件之間是互斥的，根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)和互斥事件的概率公式得到結(jié)果．做出比值．

解答：解：（Ⅰ）每局比賽的勝負(fù)是獨(dú)立的，這是一個(gè)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，
 比賽以甲3勝1而結(jié)束，則第四局一定甲勝，前三局中甲勝兩局，
∴所求概率為：P=

C

2 3

×(

2

3

)2×

1

3

×

2

3

=

8

27

即比賽以甲3勝1而結(jié)束的概率為

8

27

．
（Ⅱ） 比賽以乙3勝2而結(jié)束，則第五局一定乙勝，前四局中乙勝兩局，
∴所求概率為：P=

C

2 4

×(

1

3

)2×(

2

3

)2×

1

3

=

8

81

即比賽以乙3勝2而結(jié)束的概率為

8

81

（Ⅲ）甲先勝3局的情況有3種：3勝無(wú)敗，3勝1敗，3勝2�。�這三種事件之間是互斥的，則其概率分別為    

C

3 3

(

2

3

)3=

8

27

，

C

2 3

×(

2

3

)2×

1

3

×

2

3

=

8

27

，

C

2 4

×(

2

3

)2×(

1

3

)2×

2

3

=

16

81

，
于是甲獲勝的概率a=

8

27

+

8

27

+

16

81

=

64

81

∴乙獲勝的概率b=1-a=

17

81

∴a：b=64：17．

點(diǎn)評(píng)：本題考查獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率，解題的關(guān)鍵是對(duì)于比賽的最后一局的結(jié)果是一個(gè)確定的結(jié)果，概率是1，這里容易出錯(cuò)．