已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，且，長軸的一個(gè)端點(diǎn)與短軸兩個(gè)端點(diǎn)組成等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)．

(1)求橢圓方程；

(2)設(shè)橢圓與直線相交于不同的兩點(diǎn)M、N，又點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍，

 

【答案】

（1）.

（2）時(shí)，的取值范圍是；時(shí)，的取值范圍是

【解析】

試題分析：（1）由已知，可得，，

利用，即得，，求得橢圓方程.

（2）應(yīng)注意討論和的兩種情況.

首先當(dāng)時(shí)，直線和橢圓有兩交點(diǎn)只需；

當(dāng)時(shí)，設(shè)弦的中點(diǎn)為分別為點(diǎn)的橫坐標(biāo)，

聯(lián)立，得,

注意根據(jù)，確定 ① 平時(shí)解題時(shí)，易忽視這一點(diǎn).

應(yīng)用韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式以及 得到 ②，

將②代入①得，解得， 由②得 ，

故所求的取值范圍是.

試題解析：（1）由已知，可得，，

∵，∴，，

∴. 4分

（2）當(dāng)時(shí)，直線和橢圓有兩交點(diǎn)只需； 5分

當(dāng)時(shí)，設(shè)弦的中點(diǎn)為分別為點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由，得,

由于直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以

，即 ① 7分

9分

又 ②， 10分

將②代入①得，解得， 由②得 ，

故所求的取值范圍是. 12分

綜上知，時(shí)，的取值范圍是；

時(shí)，的取值范圍是 13分

考點(diǎn)：橢圓的方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，不等式解法.

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，橢圓的離心率為
1
2
且經(jīng)過點(diǎn)P(1，
3
2
)．M為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，以M為圓心，MF2為半徑作圓M．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若圓M與y軸有兩個(gè)交點(diǎn)，求點(diǎn)M橫坐標(biāo)的取值范圍；
（3）是否存在定圓N，使得圓N與圓M相切？若存在．求出圓N的方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，其右準(zhǔn)線上上存在點(diǎn)（點(diǎn)在 軸上方），使為等腰三角形．

⑴求離心率的范圍；

    ⑵若橢圓上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和為，求的內(nèi)切圓的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年山東省高三下學(xué)期假期檢測考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷 題型：解答題

已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，， 點(diǎn)是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，△是等腰直角三角形．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過點(diǎn)分別作直線，交橢圓于，兩點(diǎn)，設(shè)兩直線的斜率分別為，，且，證明：直線過定點(diǎn)（）．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年福建省三明市高三上學(xué)期三校聯(lián)考數(shù)學(xué)理卷 題型：解答題

（本題滿分14分）     已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，其中

F2也是拋物線的焦點(diǎn)，M是C1與C2在第一象限的交點(diǎn)，且  

（I）求橢圓C1的方程；   （II）已知菱形ABCD的頂點(diǎn)A、C在橢圓C1上，頂點(diǎn)B、D在直線上，求直線AC的方程。

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年云南省德宏州高三高考復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)試卷 題型：解答題

（本小題滿分12分）

已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，離心率，右準(zhǔn)線方程為．

（I）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（II）過點(diǎn)的直線與該橢圓交于M、N兩點(diǎn)，且，求直線的方程．

 

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