Question

已知函數f（x）=x+alnx，其中a為常數，且a≤-1．
（Ⅰ）當a=-1時，求f（x）在[e，e²]（e=2.718 28…）上的值域；
（Ⅱ）若f（x）≤e-1對任意x∈[e，e²]恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求函數f（x）=x-lnx的導數，利用導數判斷在[e，e²]上的單調性，便可求值域；
（Ⅱ）依題意就是求f（x）在[e，e²]上的最大值，用a表示出函數最大值，再將恒成立轉化為函數最值問題，結合導數法解決即可．
解答：解：（Ⅰ）當a=-1時，f（x）=x-lnx，
得，（2分）
令f'（x）＞0，即，解得x＞1，所以函數f（x）在（1，+∞）上為增函數，
據此，函數f（x）在[e，e²]上為增函數，（4分）
而f（e）=e-1，f（e²）=e²-2，所以函數f（x）在[e，e²]上的值域為[e-1，e²-2]（6分）
（Ⅱ）由，令f'（x）=0，得，即x=-a，
當x∈（0，-a）時，f'（x）＜0，函數f（x）在（0，-a）上單調遞減；
當x∈（-a，+∞）時，f'（x）＞0，函數f（x）在（-a，+∞）上單調遞增；（7分）
若1≤-a≤e，即-e≤a≤-1，易得函數f（x）在[e，e²]上為增函數，
此時，f（x）_max=f（e²），要使f（x）≤e-1對x∈[e，e²]恒成立，只需f（e²）≤e-1即可，
所以有e²+2a≤e-1，即
而，即，所以此時無解．（8分）
若e＜-a＜e²，即-e＞a＞-e²，易知函數f（x）在[e，-a]上為減函數，在[-a，e²]上為增函數，
要使f（x）≤e-1對x∈[e，e²]恒成立，只需，即，
由和
得．（10分）
若-a≥e²，即a≤-e²，易得函數f（x）在[e，e²]上為減函數，
此時，f（x）_max=f（e），要使f（x）≤e-1對x∈[e，e²]恒成立，只需f（e）≤e-1即可，
所以有e+a≤e-1，即a≤-1，又因為a≤-e²，所以a≤-e²．（12分）
綜合上述，實數a的取值范圍是．（13分）
點評：本題考查函數的導數研究函數的單調性，以及函數的導數在求函數最值的應用，解題的關鍵是將恒成立問題轉化為函數最值問題解決，屬于中檔題．