求函數(shù)y=
2x+4
-
x+3
的值域．
分析：一般可以通過圖象觀察或利用不等式性質(zhì)來求解，也可以利用函數(shù)的單調(diào)性求出值域．本題形式結(jié)構(gòu)復(fù)雜，可采用求導(dǎo)的方法求解．
解答：解：函數(shù)的定義域由
2x+4≥0
x+3≥0
求得x≥-2．
求導(dǎo)得y′=
1
2x+4
-
1
2
x+3

=
2
x+3
-
2x+4
2
2x+4
•
x+3
．
令y′＞0得2
x+3
＞
2x+4
，
即
2x+4＞0
x+3＞0
4(x+3)＞2x+4
解得x＞-2，
即函數(shù)y=
2x+4
-
x+3
在（-2，+∞）上是增函數(shù)．
又此函數(shù)在x=-2處連續(xù)，∴在[-2，+∞）上是增函數(shù)，而f（-2）=-1．
∴函數(shù)y=
2x+4
-
x+3
的值域是[-1，+∞）．
點評：函數(shù)y=f（x）在（a，b）上為單調(diào)函數(shù)，當(dāng)在[a，b]上連續(xù)時，y=f（x）在[a，b]上也是單調(diào)函數(shù)．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（選修4-5：不等式選講）已知實數(shù)m，n＞0．
（Ⅰ）求證：
a2
m
+
b2
n
≥
(a+b)2
m+n
；
（Ⅱ）求函數(shù)y=
2
x
+
9
1-2x
(x∈(0，
1
2
))的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）已知函數(shù)y=
2x-4
（x≥2），求它的反函數(shù)．
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，證明函數(shù)f（x）=-x2+1在區(qū)間[0，+∞）上是減函數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（理科做）
閱讀下面題目的解法，再根據(jù)要求解決后面的問題．
閱讀題目：對于任意實數(shù)a1，a2，b1，b2，證明不等式（a1b1+a2b2）2≤（a12+a22）（b12+b22）．
證明：構(gòu)造函數(shù)f（x）=（a1x+b1）2+（a2x+b2）2=（a12+a22）x2+2（a1b1+a2b2）x+（b12+b22）．
注意到f（x）≥0，所以△=[2（a1b1+a2b2）]2-4（a12+a22）（b12+b22）≤0，
即（a1b1+a2b2）2≤（a12+a22）（b12+b22）．
（其中等號成立當(dāng)且僅當(dāng)a1x+b1=a2x+b2=0，即a1b2=a2b1．）
問題：（1）請用這個不等式證明：對任意正實數(shù)a，b，x，y，不等式
a2
x
+
b2
y
≥
(a+b)2
x+y
成立．
（2）用（1）中的不等式求函數(shù)y=
2
x
+
9
1-2x
(0＜x＜
1
2
)的最小值，并指出此時x的值．
（3）根據(jù)閱讀題目的證明，將不等式（a1b1+a2b2）2≤（a12+a22）（b12+b22）進(jìn)行推廣，得到一個更一般的不等式，并用構(gòu)造函數(shù)的方法對你的推廣進(jìn)行證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

求函數(shù)y=
2x+4
-
x+3
的值域．

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