已知雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的漸近線方程為y=±
3
x，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)M(
5
，
3
)在雙曲線上．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若直線l與雙曲線交于P，Q兩點(diǎn)，且
OP
⊥
OQ
，求|OP|2+|OQ|2的最小值．
（1）雙曲線C的漸近線方程為y=±
3
x，
∴b2=3a2，
∵點(diǎn)M(
5
，
3
)在雙曲線上，∴
5
a2
-
3
b2
=1，
聯(lián)立得
b2=3a2
5
a2
-
3
b2
=1
，解得
a2=4
b2=12
，
∴雙曲線C的方程為
x2
4
-
y2
12
=1．
（2）設(shè)直線PQ的方程為y=kx+m，點(diǎn)P（x1，y1），Q（x2，y2），
將直線PQ的方程代入雙曲線C的方程，可化為（3-k2）x2-2kmx-m2-12=0
∴
3-k2≠0
△=(-2km)2-4(3-k2)(-m2-12)＞0
（*）
x1+x2=
2km
3-k2
，x1x2=
-m2-12
3-k2
，
由
OP
•
OQ
=0⇒x1•x2+y1•y2=0，
把y1=kx1+m，y2=kx2+m代入上式可得(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0，
∴(1+k2)
-m2-12
3-k2
+km
2km
3-k2
+m2=0，
化簡得m2=6k2+6．
|OP|2+|OQ|2=|PQ|2=(1+k2)[(x1+
x2
)2-4x1x2]=24+
384k2
(k2-3)2
，
當(dāng)k=0時(shí)，|PQ|2=24+
384k2
(k2-3)2
≥24成立，且滿足（*）
又∵當(dāng)直線PQ垂直x軸時(shí)，|PQ|2＞24，
∴|OP|2+|OQ|2的最小值是24．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

設(shè)橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)過點(diǎn)（0，4），離心率為
3
5

（1）求C的方程；
（2）求過點(diǎn)（3，0）且斜率為
4
5
的直線被C所截線段的長度．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）和圓C2：x2+y2=b2，已知圓C2將橢圓C1的長軸三等分，橢圓C1右焦點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離為
2
4
，橢圓C1的下頂點(diǎn)為E，過坐標(biāo)原點(diǎn)O且與坐標(biāo)軸不重合的任意直線l與圓C2相交于點(diǎn)A、B．
（1）求橢圓C1的方程；
（2）若直線EA、EB分別與橢圓C1相交于另一個交點(diǎn)為點(diǎn)P、M．
①求證：直線MP經(jīng)過一定點(diǎn)；
②試問：是否存在以（m，0）為圓心，
3
2
5
為半徑的圓G，使得直線PM和直線AB都與圓G相交？若存在，請求出所有m的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

若橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，線段F1F2被拋物線y2=2bx的焦點(diǎn)F內(nèi)分成了3：1的兩段．
（1）求橢圓的離心率；
（2）過點(diǎn)C（-1，0）的直線l交橢圓于不同兩點(diǎn)A、B，且
AC
=2
CB
，當(dāng)△AOB的面積最大時(shí)，求直線l和橢圓的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知直線l1過A（0，1），與直線x=-2相交于點(diǎn)P（-2，y0），直線l2過B（0，-1）與x相交于Q（x0，0），x0、y0滿足y0-
x0
2
=1，l1∩l2=M．
（Ⅰ）求直線l1的方程（方程中含有y0）；
（Ⅱ）求點(diǎn)M的軌跡C的方程；
（Ⅲ）過C左焦點(diǎn)F1的直線l與C相交于點(diǎn)A、B，F(xiàn)2為C的右焦點(diǎn)，求△ABF2面積最大時(shí)點(diǎn)F2到直線l的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知兩點(diǎn)F′（-2，0），F(xiàn)（2，0），點(diǎn)P為坐標(biāo)平面內(nèi)的動點(diǎn)，且滿足|
F′F
||
FP
|+
F′F
•
F′P
=0．
（1）求動點(diǎn)P（x，y）的軌跡C的方程；
（2）過點(diǎn)F的直線l與軌跡C和⊙F：（x-2）2+y2=1交于四點(diǎn)，自下而上依次記這四點(diǎn)為A、B、C、D，求
AB
•
CD
的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓G：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
6
3
，右焦點(diǎn)為（2
2
，0），斜率為1的直線l與橢圓G交與A、B兩點(diǎn)，以AB為底邊作等腰三角形，頂點(diǎn)為P（-3，2）．
（Ⅰ）求橢圓G的方程；
（Ⅱ）求△PAB的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右焦點(diǎn)為F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0），點(diǎn)Q是橢圓外的動點(diǎn)，滿足|
F1Q
|=2a，點(diǎn)P是線段F1Q與該橢圓的交點(diǎn)
（1）若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為
a
2
，證明：|
F1P
|=a+
c
2

（2）若存在點(diǎn)Q，使得△F1QF2的面積等于b2，求橢圓離心率的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知拋物線方程y2=4x，過點(diǎn)P（1，2）的直線與拋物線只有一個交點(diǎn)，這樣的直線有（　　）
A．0條B．1條C．2條D．3條

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同步練習(xí)冊答案