已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0).

(Ⅰ)(i)若b=﹣2,且f(x)在(1,+∞)上為單調遞增函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍;

(ii)若b=﹣1,c=1,當x∈[0,1]時,|f(x)|的最大值為1,求實數(shù)a的取值范圍;

(Ⅱ)若f(0)≥1,f(1)≥1,f(x)=0的有兩個小于1的不等正根,求a的最小正整數(shù)值.

 

(Ⅰ)(i)[1,+∞);(ii)(0,1];(Ⅱ)5

【解析】

試題分析:(Ⅰ)(i)若b=﹣2,則f(x)=ax2﹣2x+c(a>0)的圖象是開口朝上且以直線x=為對稱軸的拋物線.若f(x)在(1,+∞)上為單調遞增函數(shù),則≤1,解得a≥1,即實數(shù)a的取值范圍為[1,+∞);(ii)若b=﹣1,c=1,則f(x)=ax2﹣x+1(a>0)的圖象是開口朝上且以直線x=為對稱軸的拋物線,若當x∈[0,1]時,|f(x)|的最大值為1,則解得0<a<,或≤a≤1,所以實數(shù)a的取值范圍為(0,1];(Ⅱ)若f(0)≥1,f(1)≥1,f(x)=0的有兩個小于1的不等正根,則

解得a>4,故a的最小正整數(shù)值為5.

試題解析:(Ⅰ)(i)若b=﹣2,

則f(x)=ax2﹣2x+c(a>0)的圖象是開口朝上且以直線x=為對稱軸的拋物線.

若f(x)在(1,+∞)上為單調遞增函數(shù),則≤1,解得a≥1,

即實數(shù)a的取值范圍為[1,+∞)

(ii)若b=﹣1,c=1,

則f(x)=ax2﹣x+1(a>0)的圖象是開口朝上且以直線x=為對稱軸的拋物線.

若當x∈[0,1]時,|f(x)|的最大值為1,

,

解得0<a<,或≤a≤1

綜上所述:0<a≤1

即實數(shù)a的取值范圍為(0,1]

(Ⅱ)若f(0)≥1,f(1)≥1,f(x)=0的有兩個小于1的不等正根,

由b2>4ac>4a(1﹣a﹣b)得:

b2+4ab+4a2=(b+2a)2>4a,

即b+2a>2,

即b>2﹣2a,…①

由b2>4ac≥4a得:

b<﹣2…②

由①②得:

2﹣2a<﹣2,

解得a>4,

故a的最小正整數(shù)值為5.

考點:1.二次函數(shù)的圖象與性質;2.不等式的性質

 

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