已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0).
(Ⅰ)(i)若b=﹣2,且f(x)在(1,+∞)上為單調遞增函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍;
(ii)若b=﹣1,c=1,當x∈[0,1]時,|f(x)|的最大值為1,求實數(shù)a的取值范圍;
(Ⅱ)若f(0)≥1,f(1)≥1,f(x)=0的有兩個小于1的不等正根,求a的最小正整數(shù)值.
(Ⅰ)(i)[1,+∞);(ii)(0,1];(Ⅱ)5
【解析】
試題分析:(Ⅰ)(i)若b=﹣2,則f(x)=ax2﹣2x+c(a>0)的圖象是開口朝上且以直線x=為對稱軸的拋物線.若f(x)在(1,+∞)上為單調遞增函數(shù),則≤1,解得a≥1,即實數(shù)a的取值范圍為[1,+∞);(ii)若b=﹣1,c=1,則f(x)=ax2﹣x+1(a>0)的圖象是開口朝上且以直線x=為對稱軸的拋物線,若當x∈[0,1]時,|f(x)|的最大值為1,則或解得0<a<,或≤a≤1,所以實數(shù)a的取值范圍為(0,1];(Ⅱ)若f(0)≥1,f(1)≥1,f(x)=0的有兩個小于1的不等正根,則
解得a>4,故a的最小正整數(shù)值為5.
試題解析:(Ⅰ)(i)若b=﹣2,
則f(x)=ax2﹣2x+c(a>0)的圖象是開口朝上且以直線x=為對稱軸的拋物線.
若f(x)在(1,+∞)上為單調遞增函數(shù),則≤1,解得a≥1,
即實數(shù)a的取值范圍為[1,+∞)
(ii)若b=﹣1,c=1,
則f(x)=ax2﹣x+1(a>0)的圖象是開口朝上且以直線x=為對稱軸的拋物線.
若當x∈[0,1]時,|f(x)|的最大值為1,
則或,
解得0<a<,或≤a≤1
綜上所述:0<a≤1
即實數(shù)a的取值范圍為(0,1]
(Ⅱ)若f(0)≥1,f(1)≥1,f(x)=0的有兩個小于1的不等正根,
則
由b2>4ac>4a(1﹣a﹣b)得:
b2+4ab+4a2=(b+2a)2>4a,
即b+2a>2,
即b>2﹣2a,…①
由b2>4ac≥4a得:
b<﹣2…②
由①②得:
2﹣2a<﹣2,
解得a>4,
故a的最小正整數(shù)值為5.
考點:1.二次函數(shù)的圖象與性質;2.不等式的性質
科目:高中數(shù)學 來源:2015屆湖北省高二5月月考文科數(shù)學試卷(解析版) 題型:選擇題
已知命題:,命題:若為假命題,則實數(shù)的取值范圍為( )
A. B.或 C. D.
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科目:高中數(shù)學 來源:2015屆浙江省金華十校高二下學期期末考試理科數(shù)學試卷(解析版) 題型:選擇題
已知a<b<|a|,則( )
A.> B.a(chǎn)b<1 C.>1 D.a(chǎn)2>b2
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科目:高中數(shù)學 來源:2015屆浙江省金華十校高二下學期期末考試文科數(shù)學試卷(解析版) 題型:填空題
已知函數(shù)f(x)=,對任意的x∈[0,1]恒有f(x﹣a)≤f(x)(a>0)成立,則實數(shù)a= _________。
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科目:高中數(shù)學 來源:2015屆浙江省金華十校高二下學期期末考試文科數(shù)學試卷(解析版) 題型:選擇題
點P在正方體ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD所在平面上,E是A1A的中點,且∠EPA=∠D1PD,則點P的軌跡是( 。
A.直線 B.圓 C.拋物線 D.雙曲線
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科目:高中數(shù)學 來源:2015屆浙江省紹興市高二下學期期末考試理科數(shù)學試卷(解析版) 題型:填空題
已知數(shù)列為等差數(shù)列,首項,公差,若成等比數(shù)列,且,,,則 .
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