Question

【題目】已知函數(shù)在處有極值.

（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的值；

（Ⅱ）設(shè)，討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性.

Answer 1

【答案】(1) 在處有極值時(shí)，,(2)見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）求出導(dǎo)函數(shù)，由∴且，求得或，檢驗(yàn)后可得結(jié)果；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，分五種情況討論，分別比較極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值即可得結(jié)果.

試題解析：（Ⅰ）定義域?yàn)?/span>，

∵在處有極值，

∴且，

即

解得：或

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，

∴在處有極值時(shí)，.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，其單調(diào)性和極值分布情況如表：

	+	0	-	0	+
	增	極大	減	極小	增

∴①當(dāng)，即時(shí)，在區(qū)間上的單調(diào)遞增；

②當(dāng)，即時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減；③當(dāng)且，即時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減；

④當(dāng)，即時(shí)，在區(qū)間上的單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增；

⑤時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增.

綜上所述，當(dāng)時(shí)函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性為：

或時(shí)，單調(diào)遞增；

時(shí)，在上的單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

時(shí)，單調(diào)遞減；

時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查的是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值，屬于難題．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)一步求函數(shù)最值的步驟：①確定函數(shù)的定義域；②對求導(dǎo)；③令，解不等式得的范圍就是遞增區(qū)間；令，解不等式得的范圍就是遞減區(qū)間；④根據(jù)單調(diào)性求函數(shù)的極值及最值（閉區(qū)間上還要注意比較端點(diǎn)處函數(shù)值的大小）.