Question

17．已知數列{a_n}滿足a₁=511，4a_n=a_n-1-3（n≥2）．
（1）求證：（a_n+1）是等比數列；
（2）令b_n=|log₂（a_n+1）|，求{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）將4a_n=a_n-1-3（n≥2）轉換成，a₁+1=512≠0，$\frac{{a}_{n}+1}{{a}_{n-1}+1}=\frac{1}{4}$，{a_n+1}是等比數列；
（2）log₂（a_n+1）=11-2n，寫出{b_n}的通項公式，b_n=|11-2n|，分類討論n≤5，所有的項都是正的，因此S_n=10n-n²，當當n≥6時，從第六項開始是負數，S_n=2T₅-T_n=n²-10n+50．

解答 解：（Ⅰ）由題意可知：${a}_{n}=\frac{1}{4}{a}_{n-1}$-$\frac{3}{4}$，a_n+1=$\frac{1}{4}（{a}_{n+1}+1）$，
∵a₁+1=512≠0，
∴{a_n+1}是以512為首項，$\frac{1}{4}$為公比的等比數列，
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，${a}_{n}+1=512•（\frac{1}{4}）^{n-1}$=2^11-2n，
log₂（a_n+1）=11-2n，
b_n=|11-2n|，
令c_n=11-2n，設{c_n}的前n項和T_n=10n-n²，
當n≤5時，S_n=T_n=10n-n²，
當n≥6時，S_n=2T₅-T_n=n²-10n+50，
∴${S}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{10n-{n}^{2}}&{n≤5}\\{{n}^{2}-10n+50}&{n≥6}\end{array}\right.$．

點評 本題考查證明數列是等比數列，采用分類討論法求數列的前n項和，過程簡單明了，屬于中檔題．