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13.等比數(shù)列{an}的前n項和Sn=2n+6-a,數(shù)列{bn}滿足bn=1nlog2a1+log2a2++log2an(n∈N*).
(1)求a的值及{an}的通項公式;
(2)求數(shù)列{1bnbn+1}的前n項和;
(3)求數(shù)列{anbn}的最小項的值.

分析 (1)由數(shù)列的前n項和求出首項和n≥2時的通項,結(jié)合數(shù)列為等比數(shù)列可知首項符合n≥2時的通項,由此求得a值,并進一步求得{an}的通項公式;
(2)把數(shù)列{an}的通項公式代入bn=1nlog2a1+log2a2++log2an,利用對數(shù)的運算性質(zhì)及等差數(shù)列的前n項和求得bn,代入數(shù)列{1bnbn+1},然后利用裂項相消法求得數(shù)列{1bnbn+1}的前n項和;
(3)利用作差法可得{anbn}在其定義域上單調(diào)遞增,由此求得數(shù)列{anbn}的最小項的值.

解答 解:(1)∵Sn=2n+6a
a1=S1=27a,
當n≥2時,Sn1=2n+5a,
an=SnSn1=2n+5
∵數(shù)列{an}是等比數(shù)列,
a1=26=27a,解得a=64.
an=2n+5
(2)bn=1nlog2a1+log2a2++log2an
=1n1+2+3++n+5n=1n[nn+12+5n]=n+112,
1bnbn+1=4n+11n+12=41n+111n+12
Tn=4112113+113114++1n+111n+12
=41121n+12;
(3)∵an=2n+5,bn=n+112
ann=2n+5n+112=2n+6n+11,
an+1n+1ann=2n+7n+122n+6n+11=2n+7n+112n+6n+12n+12n+11
=2n+6[2n+22n+12]n+12n+11=2n+6n+10n+12n+110,
{anbn}在其定義域上單調(diào)遞增.
{anbn}min=a1b1=323

點評 本題考查數(shù)列遞推式,考查了等比關(guān)系的確定,訓練了裂項相消法求數(shù)列的前n項和,考查了數(shù)列的函數(shù)特性,是中檔題.

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