Question

10．某人先后拋擲兩枚股子，用ξ表示先后拋擲兩枚骰子所得點(diǎn)數(shù)之差的絕對值．
（1）求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（2）若記“函數(shù)f（x）=x+$\frac{ξ}{x}$在區(qū)間[$\sqrt{3}$，+∞）上單調(diào)遞增”為事件A，求事件A的概率．

Answer 1

分析 （1）由已知得ξ的可能取值為0，1，2，3，4，5，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．
（2）由導(dǎo)數(shù)性質(zhì)得到當(dāng)函數(shù)f（x）=x+$\frac{ξ}{x}$在區(qū)間[$\sqrt{3}$，+∞）上單調(diào)遞增時，ξ≤3，由此能求出事件A的概率．

解答 解：（1）由已知得ξ的可能取值為0，1，2，3，4，5，
P（ξ=0）=$\frac{6}{36}$，P（ξ=1）=$\frac{10}{36}$，P（ξ=2）=$\frac{8}{36}$，
P（ξ=3）=$\frac{6}{36}$，P（ξ=4）=$\frac{4}{36}$，P（ξ=5）=$\frac{2}{36}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3	4	5
P	$\frac{6}{36}$	$\frac{10}{36}$	$\frac{8}{36}$	$\frac{6}{36}$	$\frac{4}{36}$	$\frac{2}{36}$

Eξ=$0×\frac{6}{36}+1×\frac{10}{36}+2×\frac{8}{36}+3×\frac{6}{36}$+$4×\frac{4}{36}$+$5×\frac{2}{36}$=$\frac{35}{18}$．
（2）∵函數(shù)f（x）=x+$\frac{ξ}{x}$在區(qū)間[$\sqrt{3}$，+∞）上單調(diào)遞增，
∴${f}^{'}（x）=1-\frac{ξ}{{x}^{2}}$，且當(dāng)x∈[$\sqrt{3}$，+∞）時，f′（x）≥0，
∴當(dāng)函數(shù)f（x）=x+$\frac{ξ}{x}$在區(qū)間[$\sqrt{3}$，+∞）上單調(diào)遞增時，ξ≤3，
∴記“函數(shù)f（x）=x+$\frac{ξ}{x}$在區(qū)間[$\sqrt{3}$，+∞）上單調(diào)遞增”為事件A，
事件A的概率P（A）=1-P（ξ=4）-P（ξ=5）=1-$\frac{4}{36}-\frac{2}{36}$=$\frac{5}{6}$．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．