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6.在△ABC中,a、b、c分別是角A、B、C所對的邊,且滿足a=3bcosC.
(Ⅰ)求tanCtanB的值;
(Ⅱ)若a=3,tanA=3,求△ABC的面積.

分析 (I)由a=3bcosC,利用正弦定理可得:sinA=3sinBcosC,可得sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=3sinBcosC,化簡即可得出.
(II)tanA=3=-tan(B+C)=-tanB+tanC1tanBtanC,又tanCtanB=2.解得tanB,tanC,A∈(0,π),sinA=310,同理可得:sinB,sinC.由正弦定理可得:解得b,c.利用S△ABC=12bcsinA即可得出.

解答 解:(I)在△ABC中,由a=3bcosC,利用正弦定理可得:sinA=3sinBcosC,
∴sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=3sinBcosC,
∴tanB+tanC=3tanB,∴tanCtanB=2.
(II)∵tanA=3=-tan(B+C)=-tanB+tanC1tanBtanC,又tanCtanB=2.解得tanB=1,tanC=2,
∵A∈(0,π),∴sinA=310,同理可得:sinB=22,sinC=25
由正弦定理可得:3310=22=c25,解得b=5,c=22
∴S△ABC=12bcsinA=12×5×22×310=3.

點評 本題考查了正弦定理、和差化積、三角形面積計算公式,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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 項目 智慧技術(shù)智慧產(chǎn)業(yè)  智慧應(yīng)用智慧服務(wù)  智慧治理智慧人文  智慧生活
 指標(biāo)分?jǐn)?shù)x 6.8 7 6.8 6.8 7.2 7 7.4
 智慧級別y 8.8 9.19.2  8.89.1 
(1)請根據(jù)表中的數(shù)據(jù),求出y關(guān)于x的線性回歸方程;
(2)從智慧城市級別的7項指標(biāo)中隨機抽取1項指標(biāo),級別在區(qū)間[9.1,10)內(nèi)記10分,在區(qū)間[9,9.1)內(nèi)記6分,在區(qū)間[8,9)內(nèi)記5分.現(xiàn)從中隨機抽取2項指標(biāo)考查,記得分總和為ξ,求ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望.
附:回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為ˆ=ni=1xi¯xyi¯yni=1xi¯x2,ˆa=¯yˆ¯x

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