Question

設(shè)點(diǎn)A，B分別在直線3x-y+5=0和3x-y-13=0上運(yùn)動(dòng)，線段AB的中點(diǎn)M恒在直線x+y=4上或者其右上方區(qū)域．則直線OM斜率的取值范圍是（　�。�

• A、（

  1

  3

  ，1]
• B、[1，3）
• C、（-∞，1]∪（3，+∞）
• D、（-∞，1]∪（

  1

  3

  ，+∞）

Answer 1

考點(diǎn)：直線的斜率

專題：直線與圓

分析：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則3x₁-y₁-5=0，3x₂-y₂-13=0，兩式相加得3（x₁+x₂）-（y₁+y₂）-8=0，設(shè)M（x₀，y₀），則由中點(diǎn)的坐標(biāo)公式可得3x₀-y₀-4=0，又點(diǎn)M在直線x+y=4上或者其右上方區(qū)域，畫(huà)圖得到M位于以（2，2）為端點(diǎn)向上的射線上，數(shù)形結(jié)合可得答案．

解答： 解：設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵點(diǎn)A，B分別在直線3x-y+5=0和3x-y-13=0上運(yùn)動(dòng)，
∴3x₁-y₁-5=0，①
3x₂-y₂-13=0，②
兩式相加得3（x₁+x₂）-（y₁+y₂）-8=0．
設(shè)線段AB的中點(diǎn)M（x₀，y₀），
則x₁+x₂=2x₀，y₁+y₂=2y₀．
∴3x₀-y₀-4=0．
即y₀=3x₀-4．
又M恒在直線x+y=4上或者其右上方區(qū)域，
∴線段AB的中點(diǎn)M滿足

x+y≥4 y=3x-4

，如圖．

聯(lián)立

x+y=4 y=3x-4

，解得M（2，2），
∴M位于以（2，2）為端點(diǎn)向上的射線上，
當(dāng)M（2，2）時(shí)，k_OM=1，
∴直線OM斜率的取值范圍是[1，3）．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線的斜率，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法和數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，屬于中檔題．