Question

13．已知不等式組$\left\{\begin{array}{l}3x+4y-10≥0\\ x≤4\\ y≤3\end{array}\right.$表示區(qū)域D，過(guò)區(qū)域D中任意一點(diǎn)P作圓x²+y²=1的兩條切線且切點(diǎn)分別為A，B，當(dāng)∠PAB最小時(shí)，cos∠PAB=（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． -$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• D． -$\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，根據(jù)數(shù)形結(jié)合求確定當(dāng)∠PAB最小時(shí)點(diǎn)P的位置，利用余弦函數(shù)的倍角公式，即可求出結(jié)論．

解答 解：作出不等式組$\left\{\begin{array}{l}3x+4y-10≥0\\ x≤4\\ y≤3\end{array}\right.$表示的平面區(qū)域D，如圖所示，

要使∠APB最大，則∠OPB最大，
∵sin∠OPB=$\frac{OB}{OP}$=$\frac{1}{OP}$，
∴只要OP最小即可，
即點(diǎn)P到圓心O的距離最小即可；
由圖象可知當(dāng)OP垂直于直線3x+4y-10=0，
此時(shí)|OP|=$\frac{|-10|}{\sqrt{{3}^{2}{+4}^{2}}}$=2，|OA|=1，
設(shè)∠APB=α，則∠APO=$\frac{α}{2}$，即sin$\frac{α}{2}$=$\frac{OA}{OP}$=$\frac{1}{2}$，
此時(shí)cosα=1-2sin²$\frac{α}{2}$=1-2×（$\frac{1}{2}$）²=1-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$，
即cos∠APB=$\frac{1}{2}$，∴∠APB=60°，
∴△PAB為等邊三角形，此時(shí)對(duì)應(yīng)的∠PAB=60°為最小，
且cos∠PAB=$\frac{1}{2}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵，要求熟練掌握兩角和的倍角公式，是綜合性題目．