【題目】某地方政府欲將一塊如圖所示的直角梯形ABCD空地改建為健身娛樂廣場,已知AD∥BC,AD⊥AB,AD=2BC=2 百米,AB=3百米,廣場入口P在AB上,且AP=2BP,根據(jù)規(guī)劃,過點(diǎn)P鋪設(shè)兩條互相垂直的筆直小路PM、PN(小路寬度不計(jì)),點(diǎn)M、N分別在邊AD、BC上(包含端點(diǎn)),△PAM區(qū)域擬建為跳舞健身廣場,△PBN區(qū)域擬建為兒童樂園,其他區(qū)域鋪設(shè)綠化草坪,設(shè)∠APM=θ.
(1)求綠化草坪面積的最大值;
(2)現(xiàn)擬將兩條小路PN、PN進(jìn)行不同風(fēng)格的美化,小路PM的美化費(fèi)用為每百米1萬元,小路PN的美化費(fèi)用為每百米2萬元,試確定點(diǎn)M,N的位置,使得小路PM,PN的總美化費(fèi)用最低,并求出最低費(fèi)用.

【答案】
(1)解:∵AB=3,AP=2BP,∴AP=2,BP=1.

在Rt△PMA中,由 ,得AM=2tanθ,

,

∵PM⊥PN,∴∠PNB=θ,

在Rt△PNB中,由 ,得 ,

所以 ,

又S梯形ABCD= +2 )×3=

∴綠化草坪面積S= ﹣2tanθ﹣ ,

連結(jié)PC,PD,

則tanθ的最大值為 = ,tanθ的最小值為

≤tanθ ,

設(shè)tanθ=t,f(t)=2t+ ,則f′(t)=2﹣

∴當(dāng)t∈[ , ]時(shí),f′(t)>0,

∴f(t)在[ , ]上單調(diào)遞增,

∴f(t)的最小值為f( )= ,

∴S的最大值為 =

∴綠化草坪面積的最大值為 平方百米


(2)解:在Rt△PMA中,由 ,得 ,

在Rt△PNB中,由 ,得

∴總美化費(fèi)用為 ,由(1)可知θ∈[ , ],

令t=sinθ+cosθ= sin(θ+ ),則t∈[ , ], ,

,

在[ ]上單調(diào)遞減,

∴當(dāng)t= 時(shí),美化費(fèi)用y取得最小值4

∴當(dāng) ,即 時(shí),即AM=2,BM=1時(shí)總美化費(fèi)用最低為4 萬元.


【解析】(1)用θ表示出AM,BN,得出草坪面積S關(guān)于tanθ的函數(shù),利用函數(shù)單調(diào)性求出最大值;(2)用θ表示出PM,PN,得出美化費(fèi)用y關(guān)于θ的函數(shù),利用換元法求出最小值.

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