Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2ax+b在x=1處有極值2．
（1）求函數(shù)f（x）=x²-2ax+b在閉區(qū)間[0，3]上的最值；
（2）求曲線）y=x²-2ax+b，y=x+3所圍成的圖形的面積S．

Answer 1

解：（1）由已知f′（x）=2x-2a
因?yàn)樵趚=1時(shí)有極值2，所以
解方程組得：所以f（x）=x²-2x+3．
當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f′（x）＜0所以f（x）單調(diào)遞減
當(dāng)x∈[1，3]時(shí)，f′（x）＞0所以f（x）單調(diào)遞增且f（0）=3，f（1）=2，f（3）=6
所以f（x）的最大值為6，f（x）最小值為2
（2）由解得x=0及x=3．
從而所求圖形的面積s=．
分析：（1）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=x²-2ax+b在x=1處有極值2，所以所以，所以f（x）=x²-2x+3利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值即可．
（2）求出一次函數(shù)與二次函數(shù)的交點(diǎn)橫坐標(biāo)x=0及x=3，利用積分公式求出面積s=．
點(diǎn)評(píng)：函數(shù)的極值與最值問題，是基本初等函數(shù)中很主要的兩個(gè)性質(zhì)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)作為工具是解決這類問題的關(guān)鍵，正確理解定積分的幾何意義合理確定積分上限下限和被積函數(shù)是解決此類問題的關(guān)鍵．