Question

已知函數(shù)f（x）=xlnx．
（Ⅰ）若直線l過點(diǎn)（0，1），并且與曲線y=f（x）相切，求直線l的方程；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)g（x）=f（x）-a（x-1），其中a∈R，求函數(shù)g（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值．（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

Answer 1

分析：（Ⅰ）由于（0，1）不是切點(diǎn)，故先假設(shè)切點(diǎn)，利用切點(diǎn)處得導(dǎo)數(shù)為切線的斜率，再根據(jù)過（0，1），從而可求切點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)一步可求切線的方程；
（Ⅱ）先確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再利用區(qū)間進(jìn)行分類討論，從而求出函數(shù)再區(qū)間上的最小值．

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=lnx+1，x＞0，（2分）
設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（x₀，y₀），則y₀=x₀lnx₀，切線的斜率為lnx₀+1，所以lnx0+1= 

y0+1

x0

，（4分）
解得x₀=1，y₀=0，所以直線l的方程為x-y-1=0．（6分）
（Ⅱ）g（x）=xlnx-a（x-1），則g′（x）=lnx+1-a，（7分）
解g′（x）=0，得x=e^a-1，所以在區(qū)間（0，e^a-1）上，g（x）為遞減函數(shù)，在區(qū)間（e^a-1，+∞）上，g（x）為遞增函數(shù)．（8分）
當(dāng)e^a-1≤1，即a≤1時(shí)，在區(qū)間[1，e]上，g（x）為遞增函數(shù)，所以g（x）最小值為g（1）=0．（9分）
當(dāng)1＜e^a-1＜e，即1＜a＜2時(shí)，g（x）的最小值為g（e^a-1）=a-e^a-1．（10分）
當(dāng)e^a-1≥e，即a≥2時(shí)，在區(qū)間[1，e]上，g（x）為遞減函數(shù)，
所以g（x）最小值為g（e）=a+e-ae．（11分）
綜上，當(dāng)a≤1時(shí)，g（x）最小值為0；當(dāng)1＜a＜2時(shí)，g（x）的最小值為a-e^a-1；當(dāng)a≥2時(shí)，g（x）最小值為a+e-ae．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線時(shí)，注意點(diǎn)是否為切點(diǎn)．