Question

已知函數(shù)f（x）=2lnx-x²．
（1）求函數(shù)f（x）在[

1

2

，2]的最大值；
（2）求證：

n

k=1

2ⁿ•ln（1+2^-n）＜n+

1

2

（n∈N^*）；
（3）若關于x的方程f（x）=-x²-2x-2+me^x有唯一實數(shù)根，求實數(shù)m范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）f′(x)=

2

x

-2x=

2-2x2

x

，x＞0．由f′（x）=0，得x=1，由經(jīng)能求出函數(shù)f（x）在[

1

2

，2]的最大值．
（2）由（1）知2lnx＜x²-1，令x=1+2^-n，則2ⁿln（1+2^-n）＜1+2^-n-1．由此能證明

n

k=1

2ⁿ•ln（1+2^-n）＜n+

1

2

（n∈N^*）．
（3）2ln^x+2x+2=me^x，設k（x）=

2lnx+2x+2

ex

=m，由導數(shù)性質(zhì)得到k（x）在（0，1）單調(diào)遞增，在（1，+∞）單調(diào)遞減，由此能求出實數(shù)m范圍．

解答： （1）解：∵f（x）=2lnx-x²，∴f′(x)=

2

x

-2x=

2-2x2

x

，x＞0．
由f′（x）=0，得x=1，或x=-1（舍），
列表討論：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f’（x）	+	0
f（x）	↑	極大值	↘

∵f（

1

2

）=2ln

1

2

-

1

4

，f（1）=-1，f（2）=2ln2-4，
∴函數(shù)f（x）在[

1

2

，2]的最大值為-1．
（2）由（1）知2lnx-x²＜-1，
∴2lnx＜x²-1，
令x=1+2^-n，2ln（1+2^-n）＜（1+2^-n）²-1=2•2^-n，
∴2ⁿln（1+2^-n）＜1+2^-n-1．

故 n k=1 2nln(1+2-n)＜n+2-2+2-3…+2-n-1 =n+ ( 1 2 )2(1-( 1 2 )n-1) 1- 1 2 =n+ 1 2 (1-( 1 2 )n-1) ＜n+ 1 2

（3）∵f（x）=-x²-2x-2+mx，∴2ln^x+2x+2=me^x，
設k（x）=

2lnx+2x+2

ex

=m，
則k′(x)=

2 x -2lnx-2x

ex

=

2( 1 x -x)-2lnx

ex

，k′（1）=0，
當x∈（0，1）時，

1

x

-x＞0，-2lnx＞0，k′（x）＞0；
當x∈（1，+∞），

1

x

-x＜0，-2lnx＜0，k′ (x)＜0；
∴k（x）在（0，1）單調(diào)遞增，在（1，+∞）單調(diào)遞減，
當x→+∞時，k（x）→0；當x→0時，k（x）→-∞．
∴m∈（-∞，0]．

點評：本題考查函數(shù)的最大值的求法，考查不等式的證明，考查實數(shù)的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．