已知A、B、C為直線l上三點,且AB=BC=a;P為l外一點,且∠APB=90°,∠BPC=45°,求
(1)∠PBA的正弦、余弦、正切;
(2)PB的長;
(3)P點到l的距離.
分析:(1)過P點作PD⊥AB交AB于點D,過點B作BE∥AP交PC于點E依題意可知∠PBE=90°,∠PEB=45°,PB=BE,再根據(jù)△CPA∽△CEB相應邊的比相等,可求的
PA
BE
,由于PB=BE,進而可得
PA
PB
的值,求得tan∠PBA,再根據(jù)同角三角函數(shù)關系可求得cos∠PBA和sin∠PBA.
(2)在直角三角形APB中,根據(jù)PB=AB•cos∠PBA求得PB.
(3)P點到l的距離即為圖中PD的長度,在直角三角形PDB中,根據(jù)PD=PB•sin∠PBA,求得PD的長度.
解答:精英家教網(wǎng)解:過P點作PD⊥AB交AB于點D(如圖)
(1)過點B作BE∥AP交PC于點E
則∠PBE=90°,∠PEB=45°,PB=BE.
∵△CPA∽△CEB,
PA
BE
=
2a
a
=2
,
因PB=BE,
PA
PB
=2,tan∠PBA=2

又∵1+tg2∠PBA=sec2∠PBA,∠PBA為銳角,
sec∠PBA=
1+tg2∠PBA
=
5
,cos∠PBA=
1
5
=
5
5
,sin∠PBA=tan∠PBA•cos∠PBA=
2
5
5


(2)PB=AB•cos∠PBA=
5
5
a

(3)∵PB=
5
5
a,sin∠PBA=
2
5
5

PD=PB•sin∠PBA=
2
5
a

綜上,所求為
(1)∠PBA的正弦、余弦、正切分別是
2
5
5
,
1
5
5
,2
;
(2)PB的長為
1
5
5
a
;
(3)P點到l的距離為
2
5
a
點評:本題主要考查三角形中的幾何計算.要充分利用好三角形中的特殊角如90°,60°,45°等利用三角函數(shù)關系來解決問題.
練習冊系列答案
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③若a∥γ,b∥γ,則a⊥b
④若a⊥γ,b⊥γ,則a∥b
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(3)(5)
(3)(5)

(1)α⊥γ,β⊥γ⇒α∥β;
(2)a⊥b,a⊥c,b?α,c?α⇒a⊥α;
(3)a⊥α,b⊥β,α⊥β⇒a⊥b;
(4)a∥α,b∥β,a∥b⇒α∥β;
(5)α∥β,β∥γ,a⊥α⇒a⊥γ.

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(1)α⊥γ,β⊥γ⇒α∥β;
(2)a⊥b,a⊥c,b?α,c?α⇒a⊥α;
(3)a⊥α,b⊥β,α⊥β⇒a⊥b;
(4)a∥α,b∥β,a∥b⇒α∥β;
(5)α∥β,β∥γ,a⊥α⇒a⊥γ.

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