Question

已知負數(shù)a和正數(shù)b，令a₁=a，b₁=b，且對任意的正整數(shù)k，當≥0時，有a_k+1=a_k，b_k+1=；
當＜0，有a_k+1=，b_k+1=b_k．
（1）求b_n-a_n關(guān)于n的表達式；
（2）是否存在a，b，使得對任意的正整數(shù)n都有b_n＞b_n+1？請說明理由．
（3）若對任意的正整數(shù)n，都有b_2n-1＞b_2n，且b_2n=b_2n+1，求b_n的表達式．

Answer 1

【答案】分析：（1）通過計算轉(zhuǎn)化建立{b_n-a_n}的相鄰兩項之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，發(fā)現(xiàn)該數(shù)列是等比數(shù)列，從而確定出通項公式；
（2）首先假設(shè)存在合題意的a，b，然后確定出b_n的關(guān)系式是解決本題的關(guān)鍵，通過分析其相鄰項之間的關(guān)系達到解決該題的目的；
（3）通過b_n的相應(yīng)項之間的關(guān)系得到關(guān)于n的不等關(guān)系，利用加減項的方法確定出b_n的表達式是解決本題的關(guān)鍵，注意對項數(shù)奇偶的討論．
解答：解：（1）當≥0時，b_k+1-a_k+1=-a_k=；
當＜0，b_k+1-a_k+1=b_k-=．
所以，總有b_k+1-a_k+1=（b_k-a_k），
因此，數(shù)列{b_n-a_n}是首項為b-a，公比為的等比數(shù)列．
所以b_n-a_n=（b-a）（）^n-1．
（2）假設(shè)存在a，b，對任意的正整數(shù)n都有b_n＞b_n+1，即a_n=a_n+1．
所以a_n=a_n-1=…=a₁=a，又b_n-a_n=（b-a）（）^n-1，所以b_n=a+（b-a）（）^n-1，
又≥0，即a+（b-a）（）ⁿ≥0，即2ⁿ≤，
因為是常數(shù)，故2ⁿ≤不可能對任意正整數(shù)n恒成立．
故不存在a，b，使得對任意的正整數(shù)n都有b_n＞b_n+1．
（3）由b _2n-1＞b_2n，可知a _2n-1=a_2n，b_2n=，
所以b_2n=，即b_2n-b _2n-1=-（b_2n-a_2n）=-（b-a）（）^2n-1．
又b_2n=b _2n+1，故b _2n+1-b _2n-1=-（b_2n-a_2n）=-（b-a）（）^2n-1．
∴b _2n-1=（b _2n-1-b _2n-3）+（b _2n-3-b _2n-5）+…+（b₃-b₁）+b₁
=（a-b）[（）^2n-3+（）^2n-5+…+（）¹]+b=（a-b）[1-（）^n-1]+b．
當n為奇數(shù)時，令n=2m-1，可得b_n=b _2m-1=（a-b）[1-（）^m-1]+b=（a-b）[1-（）^n-1]+b，
當n為偶數(shù)時，可得b_n=b _n+1=（a-b）[1-（）ⁿ]+b，
故b_n=．
點評：本題考查數(shù)列的綜合問題，考查數(shù)列的遞推關(guān)系與通項公式之間的關(guān)系，考查學(xué)生探究性問題的解決方法，注意體現(xiàn)轉(zhuǎn)化與化歸思想的運用，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力和意識．