Question

如圖，在直三棱柱中，，，是的中點(diǎn)．

（1）求證：平行平面；
（2）求二面角的余弦值；
（3）試問(wèn)線段上是否存在點(diǎn)，使與成角？若存在，確定點(diǎn)位置，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）只需證∥；（2）；（3）點(diǎn)為線段中點(diǎn)時(shí)，與成角.

試題分析：（Ⅰ）證明：連結(jié)，交于點(diǎn)，連結(jié).
由 是直三棱柱，
得 四邊形為矩形，為的中點(diǎn).
又為中點(diǎn)，所以為中位線，
所以 ∥，        
因?yàn)?平面，平面，
所以 ∥平面.  
（Ⅱ）由是直三棱柱，且，故兩兩垂直.
如圖建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，

則.
所以 ， 
設(shè)平面的法向量為，則有
所以  取，得.
易知平面的法向量為.
由二面角是銳角，得 .
所以二面角的余弦值為.
（Ⅲ）假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn).
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824002522198318.png" style="vertical-align:middle;" />在線段上，，，故可設(shè)，其中.
所以 ，.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824002522230410.png" style="vertical-align:middle;" />與成角，所以.
即，解得，舍去.        
所以當(dāng)點(diǎn)為線段中點(diǎn)時(shí)，與成角.
點(diǎn)評(píng)：二面角的求法是立體幾何中的一個(gè)難點(diǎn)。我們解決此類問(wèn)題常用的方法有兩種：①綜合法，綜合法的一般步驟是：一作二說(shuō)三求。②向量法，運(yùn)用向量法求二面角應(yīng)注意的是計(jì)算。很多同學(xué)都會(huì)應(yīng)用向量法求二面角，但結(jié)果往往求不對(duì)，出現(xiàn)的問(wèn)題就是計(jì)算錯(cuò)誤。