Question

9．已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ═4sin（θ-$\frac{π}{3}$），以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy．
（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（2）若點(diǎn)P在曲線C上，點(diǎn)Q的直角坐標(biāo)是（cosφ，sinφ），其中（φ∈R），求|PQ|的最大值．

Answer 1

分析 （1）曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ═4sin（θ-$\frac{π}{3}$），展開為ρ²=4ρ$（\frac{1}{2}sinθ-\frac{\sqrt{3}}{2}cosθ）$，把ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得直角坐標(biāo)方程．
（2）曲線C配方可得圓心及其半徑．點(diǎn)Q的直角坐標(biāo)是（cosφ，sinφ），可知：點(diǎn)Q在x²+y²=1圓上，可得|PQ|≤|OC|+R+r．

解答 解：（1）曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ═4sin（θ-$\frac{π}{3}$），
展開為ρ²=4ρ$（\frac{1}{2}sinθ-\frac{\sqrt{3}}{2}cosθ）$，
可得直角坐標(biāo)方程：x²+y²=2y-2$\sqrt{3}$x．
（2）x²+y²=2y-2$\sqrt{3}$x配方為$（x+\sqrt{3}）^{2}$+（y-1）²=4，
可得圓心C$（-\sqrt{3}，1）$，半徑r=2．
點(diǎn)Q的直角坐標(biāo)是（cosφ，sinφ），可知：點(diǎn)Q在x²+y²=1圓上．
∴|PQ|≤|OC|+2+1=5，即|PQ|的最大值是5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化、參數(shù)方程化為普通方程、兩點(diǎn)之間的距離公式、圓的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．