Question

10．已知ABCD四點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（1，0），B（4，3），C（2，4），D（0，2）
（1）判斷四邊形ABCD的形狀，并給出證明；
（2）求cos∠DAB；
（3）設(shè)實(shí)數(shù)t滿足$（\overrightarrow{AB}-t\overrightarrow{CD}）⊥\overrightarrow{OC}$，求t的值．

Answer 1

分析 （1）四邊形ABCD是梯形，由$\overrightarrow{AB}$=$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{DC}$得出|$\overrightarrow{AB}$|=$\frac{3}{2}$|$\overrightarrow{DC}$|且AB∥CD即可；
（2）由平面向量的夾角公式即可求出cos∠DAB的值；
（3）由向量垂直得出數(shù)量積為0，列出方程求出t的值．

解答 解：（1）四邊形ABCD是梯形；
∵$\overrightarrow{AB}$=（3，3），$\overrightarrow{DC}$=（2，2），
∴$\overrightarrow{AB}$=$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{DC}$，
∴|$\overrightarrow{AB}$|=$\frac{3}{2}$|$\overrightarrow{DC}$|且AB∥CD，
∴四邊形ABCD是梯形；
（2）∵$\overrightarrow{AD}$=（-1，2），$\overrightarrow{AB}$=（3，3），
cos∠DAB=$\frac{{\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{AB}}}{{|{\overrightarrow{AD}}|•|{\overrightarrow{AB}}|}}$=$\frac{3}{{\sqrt{5}•3\sqrt{2}}}$=$\frac{{\sqrt{10}}}{10}$；
（3）∵$\overrightarrow{AB}$-t$\overrightarrow{OC}$=（3，3）-t（2，4）=（3-2t，3-4t），
$\overrightarrow{OC}$=（2，4），
∴（$\overrightarrow{AB}$-t$\overrightarrow{OC}$）•$\overrightarrow{OC}$=0，
即2（3-2t）+4（3-4t）=0，
解得t=$\frac{9}{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算與數(shù)量積的運(yùn)算問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．