Question

【題目】已知函數f（x）=lg（x2+tx+2）（t為常數，且﹣2 ＜t＜2 ）．
（1）當x∈[0，2]時，求函數f（x）的最小值（用t表示）；
（2）是否存在不同的實數a，b，使得f（a）=lga，f（b）=lgb，并且a，b∈（0，2）．若存在，求出實數t的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：令g（x）=x2+tx+2對稱軸為x=﹣ ，

② 當﹣ ≤0，即t≥0時，g（x）min=g（0）=2，∴f（x）min=lg2；

②當0＜﹣ ＜2，即﹣4＜t＜0時，g（x）min=g（﹣ ）=2﹣ ，

考慮到g（x）＞0，則

1°﹣2 ＜t＜0，f（x）min=f（﹣ ）=lg（2﹣ ），

2°﹣4＜t≤﹣2 ，沒有最小值．

③當﹣ ≥2，即t≤﹣4時，g（x）min=g（2）=6+2t，

考慮到g（x）＞0∴f（x）沒有最小值．

綜上所述：當t≤﹣2時f（x）沒有最小值；

當t＞﹣2時，f（x）min=

（2）解：假設存在，則由已知等價于x2+tx+2=x在區(qū)間（0，2）上有兩個不同的實根，

等價于t=﹣（ +x）+1，x∈（0，2）

t′=﹣1+ ，x∈（0， ），t′＞0；x∈（ ，2），t′＜0．

x= 取最大值1﹣2 ．x=2，t=﹣2．

可得﹣2＜t＜1﹣2 ．

故存在，實數t的取值范圍是﹣2＜t＜1﹣2

【解析】（1）令g（x）=x2+tx+2，要求函數f（x）的最小值，根據復合函數的單調性可知，只要求解函數g（x）的最小值即可，結合圖象，需判斷對稱軸與區(qū)間[0，2]的位置關系，分類討論；（2）假設存在，則由已知等價于x2+tx+2=x在區(qū)間（0，2）上有兩個不同的實根，分離參數，運用導數求出右邊的最值和范圍，即可得出結論．
【考點精析】關于本題考查的函數的最值及其幾何意義和二次函數在閉區(qū)間上的最值，需要了解利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（�。┲�；利用圖象求函數的最大（�。┲担焕�用函數單調性的判斷函數的最大（�。┲�；當時，當時，；當時在上遞減，當時，才能得出正確答案．