Question

已知函數(shù)f（x）=log₃

1+x

1-x

（-1＜x＜1），g（x）是函數(shù)y=log₃x的反函數(shù)，h（x）=9^x+1-2a•g（x），（a∈R）
（1）判斷f（x）的奇偶性并證明；
（2）求h（x）在區(qū)間[0，1]的最大值和最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)奇函數(shù)的定義判斷，首項(xiàng)看定義域，再看解析式，
（2）換元轉(zhuǎn)化為m（t）=t²-2at，t∈[1，3]，根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸，與區(qū)間的關(guān)系，結(jié)合單調(diào)性判斷即可．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=log₃

1+x

1-x

（-1＜x＜1），
∴定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
f（-x）=log₃

1-x

1+x

=-log₃

1+x

1-x

=-f（x），
∴f（x）的奇函數(shù)．
（2）∵g（x）是函數(shù)y=log₃x的反函數(shù)，
∴g（x）=3^x，
∵h(yuǎn)（x）=9^x+1-2a•g（x），（a∈R），
∴h（x）=9^x+1-2a•3^x，（a∈R）
設(shè)t=3^x，x∈[0，1]，
∴t∈[1，3]，
m（t）=t²-2at，t∈[1，3]，
當(dāng)a≥3時(shí)，最大值=m（1）=1-2a，最小值m（3）=9-6a．
當(dāng)a≤1時(shí)，最大值=m（3）=9-6a，最小值m（1）=1-2a，
當(dāng)

3

2

≤a＜3時(shí)，最大值=m（1）=1-2a，最小值m（

3

2

）=

9

4

-3a，
當(dāng)1＜a＜

3

2

時(shí)，最大值=m（3）=9-6a，最小值m（

3

2

）=

9

4

-3a，

點(diǎn)評(píng)：本題考查了指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化二次函數(shù)，討論對(duì)稱(chēng)軸，判斷單調(diào)性求解最大，最小值，屬于中檔題．