Question

17．已知函數(shù)f（x）=$\frac{mx{\;}^{2}+2}{3x+n}$是奇函數(shù)，且f（2）=$\frac{5}{3}$．
（1）求實(shí)數(shù)m和n的值；
（2）判斷函數(shù)f（x）在（-∞，0）上的單調(diào)性，并加以證明．

Answer 1

分析 （1）利用函數(shù)是奇函數(shù)的定義，列出方程，比較求解n，利用f（2）=$\frac{5}{3}$，求解m即可．
（2）利用函數(shù)的單調(diào)性的定義判斷求解即可．

解答 解：（1）∵f（x）是奇函數(shù)，∴f（-x）=-f（x），
∴$\frac{m{x}^{2}+2}{-3x+n}$=-$\frac{mx{\;}^{2}+2}{3x+n}$=$\frac{m{x}^{2}+2}{-3x-n}$．
比較得n=-n，n=0．
又f（2）=$\frac{5}{3}$，∴$\frac{4m+2}{6}$=$\frac{5}{3}$，解得m=2．
即實(shí)數(shù)m和n的值分別是2和0．
（2）函數(shù)f（x）在（-∞，-1]上為增函數(shù)，在（-1，0）上為減函數(shù)．
證明如下：由（1）可知f（x）=$\frac{2x2+2}{3x}$=$\frac{2x}{3}$+$\frac{2}{3x}$．
設(shè)x₁＜x₂＜0，
則f（x₁）-f（x₂）=$\frac{2}{3}$（x₁-x₂）$\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（1-\frac{1}{x1x2}））$
=$\frac{2}{3}$（x₁-x₂）•$\frac{x1x2-1}{x1x2}$．
當(dāng)x₁＜x₂≤-1時(shí)，x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，x₁x₂-1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴函數(shù)f（x）在（-∞，-1]上為增函數(shù)；
當(dāng)-1＜x₁＜x₂＜0時(shí)，
x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，x₁x₂-1＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴函數(shù)f（x）在（-1，0）上為減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的奇偶性的綜合應(yīng)用，考查計(jì)算能力．