Question

【題目】兩個(gè)函數(shù)在公共定義域上恒有，則稱這兩個(gè)函數(shù)是該區(qū)間上的“同步函數(shù)”.

（1）試判斷與是否為公共定義域上的“同步函數(shù)”？

（2）已知函數(shù)與是公共區(qū)域上的“同步函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）已知與在上是“同步函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍。

Answer 1

【答案】（1）不是；（2）或；（3）.

【解析】

（1）由反正弦函數(shù)的定義域和值域、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合新定義即可判斷；

（2）分別討論，對(duì)應(yīng)方程的系數(shù)是否成比例，以及判別式的符號(hào)，解不等式，結(jié)合新定義，即可得到所求范圍；

（3）運(yùn)用對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域可得，求得，的零點(diǎn)，由于，討論當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，由不等式的性質(zhì)即可得到所求范圍．

(1)在遞增,在遞減，

當(dāng)時(shí),,而在時(shí),,不滿足，

故與不為公共定義域上的“同步函數(shù)”；

(2)由與是公共區(qū)域上的“同步函數(shù)”，

可得在公共定義域上，

若，對(duì)應(yīng)的方程是同解方程，

則，解得.

此.

若,對(duì)應(yīng)的方程不是同解方程，

要保證對(duì)于定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)，函數(shù)值乘積均為正，

則需要分子分母的判別式均小于，

即，

解得.

的范圍是.

當(dāng)時(shí),函數(shù)化為與，

大于等于,的判別式小于,大于恒成立，函數(shù)值乘積恒非負(fù).

綜上，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是或；

(3)由定義域可得，由題意可得，

由,可得,

由，可得，

由題意可得兩零點(diǎn)之間無(wú)正整數(shù)，

由于,所以當(dāng)時(shí),，不滿足題意；

當(dāng)時(shí),,不滿足題意；

當(dāng)時(shí),，滿足題意.

則的范圍是.