【題目】橢圓的右焦點為，且短軸長為，離心率為.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）設點為橢圓與軸正半軸的交點，是否存在直線，使得交橢圓于兩點，且恰是的垂心？若存在，求的方程；若不存在，說明理由.

【答案】（1）；（2）存在，.

【解析】

（1）根據(jù)短軸長和離心率可求，從而得到橢圓的標準方程；

（2）假設存在直線，則其斜率為，設的方程為，，由為垂心可得，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，消去后利用韋達定理可得關(guān)于的方程，解該方程后可得所求的直線方程.

（1）設橢圓的方程為，則由題意知，所以.

，解得，所以橢圓的方程為.

（2）由（1）知，的方程為，所以，

所以直線的斜率，假設存在直線，使得是的垂心，則.

設的斜率為，則，所以.

設的方程為,.

由，得，

由，得，

.

因為，所以，因為，

所以，

即，

整理得，

所以，

整理得，解得或，

當時，直線過點，不能構(gòu)成三角形，舍去；

當時，滿足，

所以存在直線，使得是的垂心，的方程為.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知以M為圓心的圓M: 及其上一點A（2，4）

（1）設圓N與x軸相切，與圓M外切，且圓心N在直線x=6上，求圓N的標準方程；

（2）設平行于OA的直線l與圓M相交于B、C兩點，且BC=OA,求直線l的方程；

（3）設點T（t,o）滿足：存在圓M上的兩點P和Q,使得,求實數(shù)t的取值范圍。

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知定義域為的奇函數(shù)，滿足,下面四個關(guān)于函數(shù)的說法：①存在實數(shù)，使關(guān)于的方程有個不相等的實數(shù)根；②當時，恒有；③若當時，的最小值為，則；④若關(guān)于的方程和的所有實數(shù)根之和為零，則．其中說法正確的有______．（將所有正確說法的標號填在橫線上）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，BD⊥DC，點E是BC邊的中點，將△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，連接AE，AC，DE，得到如圖2所示的幾何體．

（Ⅰ）求證：AB⊥平面ADC；

（Ⅱ）若AD＝2，直線CA與平面ABD所成角的正弦值為，求二面角E－AD－C的余弦值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在多面體中，底面為矩形，側(cè)面為梯形，，.

（1）求證：；

（2）求證：平面.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐，，，，為等邊三角形，平面平面，為中點.

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某數(shù)學小組到進行社會實踐調(diào)查，了解到某公司為了實現(xiàn)1000萬元利潤目標，準備制定激勵銷售人員的獎勵方案：在銷售利潤超過10萬元時，按銷售利潤進行獎勵，且獎金y（單位：萬元）隨銷售利潤x（單位：萬元）的增加而增加，但獎金總數(shù)不超過5萬元，同時獎金不超過利潤的25%．同學們利用函數(shù)知識，設計了如下的函數(shù)模型，其中符合公司要求的是（參考數(shù)據(jù)：，）( )

A.B.C.D.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設函數(shù)，函數(shù)為的導函數(shù)．

（1）若，都有成立（其中），求的值；

（2）證明：當時，；

（3）設當時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，以為極點，軸的非負半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為，直線的參數(shù)方程為為參數(shù)，直線與曲線分別交于兩點.

（1）若點的極坐標為，求的值；

（2）求曲線的內(nèi)接矩形周長的最大值.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案