Question

【題目】已知三棱錐P﹣ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，△ABC是邊長為1的正三角形，PC為球O的直徑，該三棱錐的體積為 ， 則球O的表面積為（　　）
A.4π
B.8π
C.12π
D.16π

Answer 1

【答案】A
【解析】根據(jù)題意作出圖形
設(shè)球心為O，球的半徑r．過ABC三點(diǎn)的小圓的圓心為O1 ， 則OO1⊥平面ABC，
延長CO1交球于點(diǎn)D，則PD⊥平面ABC．
∵CO1= ，
∴OO1= ，
∴高PD=2OO1=2 ，
∵△ABC是邊長為1的正三角形，
∴S△ABC= ，
∴V三棱錐P﹣ABC=××2= ，
∴r=1．則球O的表面積為4π．
故選：A．

根據(jù)題意作出圖形，欲求球O的表面積，只須求球的半徑r．利用截面圓的性質(zhì)即可求出OO1 ， 進(jìn)而求出底面ABC上的高PD，即可計(jì)算出三棱錐的體積，從而建立關(guān)于r的方程，即可求出r，從而解決問題。