證明：方程x·2x=1至少有一個(gè)小于1的正根．

答案：
解析：

證明　　由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)必有最大值和最小值的性質(zhì)，設(shè)函數(shù)f(x)在[a，b]上連續(xù)，其最小值為m，最大值為M，若m＜c＜M，則在(a，b)上至少有一個(gè)x0，使x=x0時(shí)f(x)=c．

　　令f(x)=x·2x-1且f(x)在[0，1]上連續(xù)，當(dāng)x=0時(shí)，f(x)=-1＜0；當(dāng)x=1時(shí)，f(x)=1×2-1=1＞0

　　又-1＜0＜1，所以在(0，1)內(nèi)至少有一個(gè)x0，使x=x0時(shí)，f(x)=0，即至少有一個(gè)x0，滿(mǎn)足0＜x0＜1，且f(x0)=0．

故方程x·2x=1至少有一個(gè)小于1的正根


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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（1）證明：函數(shù)f（x）=x+
2
x
在（0，
2
]上是減函數(shù)，在[
2
，+∞）上是增函數(shù)；
（2）試討論方程x+
2
x
=a，（x∈（1，2]，a∈R）的解的個(gè)數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（A類(lèi)）定義在R上的函數(shù)y=f（x），對(duì)任意的a，b∈R，滿(mǎn)足f（a+b）=f（a）•f（b），當(dāng)x＞0時(shí)，有f（x）＞1，其中f（1）=2
（1）求f（0）、f（-1）的值；  （2）證明y=f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；（3）求不等式f（x+1）＜4的解集．
（B類(lèi)）已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)= 
-2x+b
2x+1+a
．
（1）求a，b的值；
（2）若不等式-m2+(k+2)m-
3
2
＜f(x)＜m2+2km+k+
5
2
對(duì)一切實(shí)數(shù)x及m恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（3）定義：若存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得f（x+T）=f（x）對(duì)定義域中的任何實(shí)數(shù)x都恒成立，那么，我們把f（x）叫以T為周期的周期函數(shù)，它特別有性質(zhì)：對(duì)定義域中的任意x，f（x+nT）=f（x），（n∈Z）．若函數(shù)g（x0是定義在R上的周期為2的奇函數(shù)，且當(dāng)x∈（-1，1）時(shí)，g（x）=f（x）-x，求方程g（x）=0的所有解．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）=ax+
x-2
x+1
在（-1，+∞）是增函數(shù)，用反證法證明方程ax+
x-2
x+1
=0沒(méi)有負(fù)數(shù)根．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：數(shù)學(xué)教研室 題型：044

證明：方程x·2x=1至少有一個(gè)小于1的正根．

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