已知二次函數(shù),關(guān)于x的不等式的解集為,其中m為非零常數(shù).設(shè).

(1)a的值;

(2)如何取值時,函數(shù)存在極值點,并求出極值點;

(3)m=1,且x>0,求證:

 

12)當時,取任何實數(shù), 函數(shù)有極小值點;

時,,函數(shù)有極小值點,有極大值點.9

(其中, )3)見解析

【解析】1)【解析】
∵關(guān)于
的不等式的解集為

即不等式的解集為,

.

.

.

.

(2)解法1:(1).

的定義域為.

. ………3

方程*)的判別式

.………4

①當時,,方程(*)的兩個實根為

………5

時,;時,.

∴函數(shù)上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.

∴函數(shù)有極小值點. ………6

②當時,由,

,則

時,

∴函數(shù)上單調(diào)遞增.

∴函數(shù)沒有極值點.………7

時,

時,;時,;時,.

∴函數(shù)上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.

∴函數(shù)有極小值點,有極大值點. ………8

綜上所述, 時,取任意實數(shù), 函數(shù)有極小值點;

時,,函數(shù)有極小值點,有極大值點.9

(其中, )

解法2:(1).

的定義域為.

. ………3

若函數(shù)存在極值點等價于函數(shù)有兩個不等的零點,且

至少有一個零點在. ………4

,

, (*)

,(**)…………5

方程(*)的兩個實根為, .

設(shè),

①若,,,此時,取任意實數(shù), (**)成立.

時,時,.

∴函數(shù)上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.

∴函數(shù)有極小值點. ………6

②若,

又由(**)解得,

.………7

時,;時,;時,.

∴函數(shù)上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.

∴函數(shù)有極小值點,有極大值點. ………8

綜上所述, 時,取任何實數(shù), 函數(shù)有極小值點;

時,,函數(shù)有極小值點,有極大值點.9

(其中, )

3)∵, .

. ………10

,

.

,

11

12

.………13

,即. ……………14

證法2:下面用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式.

時,左邊,右邊,不等式成立;

………10

②假設(shè)當N時,不等式成立,即

………11

………12

. ………13

也就是說,當時,不等式也成立.

由①②可得,對N,都成立. 14

 

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A . B. C. D. 

 

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