Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a₂=3，其前n項(xiàng)和S_n滿足a_n+1+S_n-1=S_n+1（n≥2，n∈N^*）．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，并求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)T_n為數(shù)列{

1

anan+1

}的前n項(xiàng)和，求T_n
（Ⅲ）若T_n≤γa_n+1對(duì)一切n∈N^*恒成立，求實(shí)數(shù)γ的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用等差數(shù)列的定義證明數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）利用裂項(xiàng)法求數(shù)列的和．（Ⅲ）將不等式條件T_n≤γa_n+1轉(zhuǎn)化為γ≥

Tn

an+1

，進(jìn)而求實(shí)數(shù)γ的最小值．

解答：解：（Ⅰ）由已知，a_n+1+S_n-1=S_n+1（n≥2，n∈N^*）．
a_n+1=S_n-S_n-1+1=a_n+1，（n≥2，n∈N^*）．所以a_n+1-a_n=1，
又因?yàn)閍₂-a₁=3-2=1，所以數(shù)列{a_n}是公差為1的等差數(shù)列，首項(xiàng)為2．
所以a_n=2+n-1=n+1．
（Ⅱ）因?yàn)?span id="6666661" class="MathJye">

1

anan+1

=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

，
所以Tn=

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n+1

-

1

n+2

=

1

2

-

1

n+2

=

n

2(n+2)

．
（Ⅲ）因?yàn)門_n≤γa_n+1，所以

n

2(n+2)

≤γ(n+2)，即

n

2(n+2)2

≤γ．
因?yàn)?span id="6111166" class="MathJye">

n

2(n+2)2

=

n

2(n2+4n+4)

=

1

2(n+ 4 n +4)

≤

1

2(4+2 n? 4 n )

=

1

2×8

=

1

16

，
當(dāng)且僅當(dāng)n=

4

n

，即n2=4，n=2取等號(hào)．
所以γ的最小值為

1

16

    …（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等差數(shù)列的定義以及通項(xiàng)公式，以及利用裂項(xiàng)法求數(shù)列的前n項(xiàng)和．運(yùn)算量較大，要求熟練掌握相關(guān)的公式．