如圖，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率e=
3
2
，F(xiàn)1、F2分別為橢圓C的左、右焦點，A（0，b），且
F1A
•
F2A
=-2過左焦點F1作直線l交橢圓于P1、P2兩點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線l的傾斜角a∈[
π
3
，
2π
3
]，直線OP1，OP2與直線x=-
4
3
3
分別交于點S、T，求|ST|的取值范圍．
分析：（1）利用向量數(shù)量積公式，結(jié)合離心率，即可求得橢圓方程；
（2）確定直線OP1、OP2的方程，求出S，T的坐標(biāo)，可得|ST|，結(jié)合m的范圍，即可得到結(jié)論．
解答：解：（1）設(shè)F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0），則
由
F1A
•
F2A
=-2得b2-c2=-2
∵e=
c
a
=
3
2

∴a2=4，b2=1，c2=3
∴橢圓方程為
x2
4
+y2=1；
（2）設(shè)直線l的方程為x=my-
3

∵傾斜角α∈[
π
3
，
2π
3
]，
∴m∈[-
3
3
，
3
3
]
則P1（x1，y1），P2（x2，y2）的坐標(biāo)軸滿足方程組
x2
4
+y2=1
x=my-
3

∴（m2+4）y2-2
3
my-1=0
∴y1+y2=
2
3
m
m2+4
，y1y2=-
1
m2+4

∴x1x2=4×
3-m2
m2+4

由P1（x1，y1），P2（x2，y2），得直線OP1、OP2的方程為y=
y1
x1
x、y=
y2
x2
x
∴點S、T的坐標(biāo)為S（-
4
3
3
，-
4
3
3
y1
x1
），T（-
4
3
3
，-
4
3
3
y2
x2
）
∴|ST|=
4
3
3
|
y1
x1
-
y2
x2
|=
4
m2+1
3-m2

令
m2+1
=t
∵m∈[-
3
3
，
3
3
]
∴t∈[1，
2
3
3
]
∴|ST|=
4t
4-t2
∈[
4
5
，
3
]．
點評：本題考查向量知識的運用，考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的焦點和上頂點分別為F1、F2、B，我們稱△F1BF2為橢圓C的特征三角形．如果兩個橢圓的特征三角形是相似的，則稱這兩個橢圓是“相似橢圓”，且三角形的相似比即為橢圓的相似比．
（1）已知橢圓C1：
x2
4
+y2=1和C2：
x2
16
+
y2
4
=1，判斷C2與C1是否相似，如果相似則求出C2與C1的相似比，若不相似請說明理由；
（2）已知直線l：y=x+1，在橢圓Cb上是否存在兩點M、N關(guān)于直線l對稱，若存在，則求出函數(shù)f（b）=|MN|的解析式．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1的離心率為
3
2
，過橢圓C上一點P（2，1）作傾斜角互補的兩條直線，分別與橢圓交于點A、B，直線AB與x軸交于點M，與y軸負(fù)半軸交于點N．
（Ⅰ）求橢圓C的方程：
（Ⅱ）若S△PMN=
3
2
，求直線AB的方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知橢圓C：
x2
36
+
y2
20
=1的左頂點，右焦點分別為A，F(xiàn)，右準(zhǔn)線為l，N為l上一點，且在x軸上方，AN與橢圓交于點M．
（1）若AM=MN，求證：AM⊥MF；
（2）過A，F(xiàn)，N三點的圓與y軸交于P，Q兩點，求PQ的最小值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•深圳一模）如圖，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
3
2
，以橢圓C的左頂點T為圓心作圓T：（x+2）2+y2=r2（r＞0），設(shè)圓T與橢圓C交于點M與點N．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求
TM
•
TN
的最小值，并求此時圓T的方程；
（3）設(shè)點P是橢圓C上異于M，N的任意一點，且直線MP，NP分別與x軸交于點R，S，O為坐標(biāo)原點，求證：|OR|•|OS|為定值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左頂點，右焦點分別為A、F，右準(zhǔn)線為m．圓D：x2+y2+x-3y-2=0．
（1）若圓D過A、F兩點，求橢圓C的方程；
（2）若直線m上不存在點Q，使△AFQ為等腰三角形，求橢圓離心率的取值范圍．
（3）在（1）的條件下，若直線m與x軸的交點為K，將直線l繞K順時針旋轉(zhuǎn)
π
4
得直線l，動點P在直線l上，過P作圓D的兩條切線，切點分別為M、N，求弦長MN的最小值．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案