Question

7．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}{cos^2}$x-sinxcos（π-x），x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）求f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由誘導(dǎo)公式、二倍角公式及輔助角公式化簡f（x），由此得到周期與單調(diào)區(qū)間．
（Ⅱ）由f（x）的單調(diào)性得到在區(qū)間[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上的單調(diào)性，由此得到最值．

解答 解：（Ⅰ）∵$f（x）=\sqrt{3}•\frac{cos2x+1}{2}-sinx•（-cosx）$
=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}cos2x+\frac{{\sqrt{3}}}{2}+\frac{1}{2}sin2x$=sin（2x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴f（x）的最小正周期$T=\frac{2π}{2}=π$．
由$-\frac{π}{2}+2kπ$≤2x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z，
可得kπ-$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{π}{12}$，k∈Z，
故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{π}{12}$]，k∈Z．
由$\frac{π}{2}+2kπ$≤2x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{3π}{2}+2kπ$，k∈Z，
可得kπ+$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{7π}{12}$，k∈Z，
故f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{7π}{12}$]，k∈Z．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，f（x）在區(qū)間$[-\frac{π}{4}{，_{\;}}\frac{π}{6}]$上單調(diào)遞增，
在區(qū)間$[\frac{π}{6}{，_{\;}}\frac{π}{4}]$上單調(diào)遞減，
$f（-\frac{π}{4}）=0$，$f（\frac{π}{6}）=1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，$f（\frac{π}{4}）=\sqrt{3}$．
所以f（x）在區(qū)間$[-\frac{π}{4}{，_{\;}}\frac{π}{4}]$上的最大值為$1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，最小值為0．

點(diǎn)評 本題考查三角函數(shù)的化簡，以及求周期與單調(diào)性，由單調(diào)性得最值．