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16.銳角三角形△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若a+a=4cosC,則1tanA+1tanB的最小值是233

分析 根據(jù)題意,利用基本不等式求出a、b、c的關(guān)系,再化簡(jiǎn)1tanA+1tanB,利用正弦定理即可求出最小值.

解答 解:銳角三角形△ABC中,a+a=4cosC,
∴4cosC=a+\frac{a}≥2\sqrt{\frac{a}•\frac{a}}=2,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)“=”成立;
∴cosC≥12,即12≤cosC<1,
∴0<sinC≤32;
1tanA+1tanB=cosAsinB+sinAcosBsinAsinB
=sinA+BsinAsinB
=sinCsinAsinB,
∴a=b=c時(shí),1tanA+1tanB取得最小值為233
故答案為:233

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角形的正弦定理的應(yīng)用問(wèn)題,也考查了基本不等式的應(yīng)用問(wèn)題,是綜合性題目.

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