Question

已知向量，，且．
(1)求點(diǎn)的軌跡的方程；
(2)設(shè)曲線與直線相交于不同的兩點(diǎn)，又點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

(1).(2)當(dāng)時(shí)，m的取值范圍是，當(dāng)時(shí)，m的取值范圍是.

解析試題分析：(1)由題意得，，
，計(jì)算并化簡(jiǎn)得.
(2)由得，
由于直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，∴，即.
討論當(dāng)時(shí)，得所求的的取值范圍是；
當(dāng)時(shí)，得m的取值范圍是.
(1)由題意得，，
∵，∴，
化簡(jiǎn)得，∴點(diǎn)的軌跡的方程為.    4分
(2)由得，
由于直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，∴，即.①  6分
(i)當(dāng)時(shí)，設(shè)弦的中點(diǎn)為，分別為點(diǎn)的橫坐標(biāo)，則，
從而，，     8分
又，∴.
則，即，  ②
將②代入①得，解得，由②得，解得，
故所求的的取值范圍是.                           10分
(ii)當(dāng)時(shí)，，∴，，
解得.                                         12分
綜上，當(dāng)時(shí)，m的取值范圍是，
當(dāng)時(shí)，m的取值范圍是.                          13分
考點(diǎn)：平面向量的數(shù)量積，橢圓方程，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.