Question

【題目】已知橢圓的左右頂點為，為橢圓上異于的動點，設(shè)直線的斜率分別為，且.

（1）求橢圓的離心率；

（2）當(dāng)橢圓內(nèi)切于圓時，設(shè)動直線與橢圓相交于兩點，為坐標(biāo)原點，若，問：的面積是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1)；(2)存在最小值為，理由見詳解.

【解析】

（1）設(shè)出點的坐標(biāo)，根據(jù)斜率關(guān)系結(jié)合點在橢圓上，即可求得關(guān)系，則離心率得解；

（2）由橢圓和圓的位置關(guān)系，即可求得橢圓方程，設(shè)出直線的方程，根據(jù)向量關(guān)系，求得關(guān)系，再根據(jù)三角形面積公式，即可求得結(jié)果.

（1）不妨設(shè)的坐標(biāo)為，則；

又，

則.

故可得，則；

（2）因為橢圓內(nèi)切于圓，故容易得，結(jié)合（1）中所求，

即可容易求得.

故可得橢圓方程為，

①若直線斜率不為零，不妨設(shè)其方程為，

聯(lián)立橢圓方程可得：

，

則，

整理得

設(shè)點的坐標(biāo)為，

故可得

.

因為，故可得，

即可得，

則.結(jié)合，可得，

故.

又

故可得

將代入上式可得：

，令

則，

當(dāng)且僅當(dāng)時取得最小值.

②當(dāng)直線的斜率為零時，設(shè)直線為，

聯(lián)立橢圓方程可得，

則容易知，

故，

令，

，顯然此時沒有最小值.

綜上所述，的面積存在最小值，最小值為.