Question

【題目】已知拋物線y2=2px（p＞0）的焦點為F，直線y=x﹣8與此拋物線交于A、B兩點，與x軸交于點C，O為坐標(biāo)原點，若 =3 ．
（1）求此拋物線的方程；
（2）求證：OA⊥OB．

Answer 1

【答案】
（1）

解：拋物線y2=2px（p＞0），焦點F（ ，0），

直線y=x﹣8與x軸交于點C，即C（8，0），

∵ =3 ．即3 =8﹣ ，解得：p=4

∴拋物線的方程為y2=8x

（2）

證明：由 ，得y2=8（y+8），即y2﹣8y﹣64=0，

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），

∴y1y2=﹣64，

又 ，

∴ =x1x2+y1y2=64﹣64=0，

∴ ⊥ ，

∴OA⊥OB

【解析】（1）由拋物線y2=2px（p＞0），焦點F（ ，0），C（8，0），由 =3 ，可得3× =8﹣ ，即可求得p的值，求得拋物線的方程；（2）將直線方程代入拋物線方程，由韋達定理定理可知：y1y2=﹣64，代入求得x1x2 ， 由 =x1x2+y1y2=0，可知 ⊥ ，因此OA⊥OB．