Question

如果實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件

x-3y≤-4 x≥1 3x+5y≤30

．
（1）求目標(biāo)函數(shù)z=2x-y的最大值；
（2）求目標(biāo)函數(shù)z=x²+y²+10x+25的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃

專題：數(shù)形結(jié)合,不等式的解法及應(yīng)用

分析：由約束條件作出可行域．
（1）化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，求出最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)得答案；
（2）化目標(biāo)函數(shù)z=x²+y²+10x+25為可行域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離的平方，由圖得到最優(yōu)解，由兩點(diǎn)間的距離公式得答案．

解答： 解：由約束條件

x-3y≤-4 x≥1 3x+5y≤30

作出可行域如圖，

（1）聯(lián)立

x-3y=-4 3x+5y=30

，解得：B（5，3），
化目標(biāo)函數(shù)z=2x-y為y=2x-z，
由圖可知，當(dāng)直線y=2x-z過(guò)B時(shí)z有最大值為2×5-3=7；
（2）z=x²+y²+10x+25=

(x+5)2+y2

2，
由圖可知，可行域內(nèi)的點(diǎn)A（1，

5

3

）到點(diǎn)（-5，0）的距離最小，
∴z的最小值為

(1+5)2+( 5 3 )2

2=

349

9

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．