Question

設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，若存在x₀∈D，使f(x₀)＝x₀成立，則稱以(x₀，x₀)為坐標(biāo)的點(diǎn)為函數(shù)f(x)圖像上的不動點(diǎn)．

(Ⅰ)若函數(shù)f(x)＝圖像上有兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱的不動點(diǎn)，求a、b應(yīng)滿足的條件；

(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下，若a＝8，記函數(shù)f(x)圖像上的兩個不動點(diǎn)分別為A、B，M為函數(shù)圖像上的另一點(diǎn)，且其縱坐標(biāo)y_M＞3，求點(diǎn)M到直線AB距離的最小值及取得最小值時M點(diǎn)的坐標(biāo)；

(Ⅲ)下述命題“若定義在R上的奇函數(shù)f(x)圖像上存在有限個不動點(diǎn)，則不動點(diǎn)有奇數(shù)個”是否正確？若正確，請給予證明，并舉出一例；若不正確，請舉一反例說明．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)若點(diǎn)(x0，y0)是不動點(diǎn)，則有f(x0)＝＝x0， 　　即x02＋(b－3)x0－a＝0．(*) 　　由題意，知(*)有兩個根，且這兩個根絕對值相等，符號相反，由韋達(dá)定理得 　　b－3＝0，且－a＜0　　∴b＝3，且a＞0 　　而f(x)＝＝3＋，知a≠9． 　　故a、b應(yīng)滿足b＝3，a＞0且a≠9． 　　(Ⅱ)由(Ⅰ)，當(dāng)a＝8，f(x)＝． 　　令x＝，解得A(2，2)，B(－，－)． 　　∴直線AB的方程是y＝x． 　　設(shè)點(diǎn)M(x，y)，M到直線y＝x的距離為d，則 　　d＝＝＝ 　�。�·＝·＝[(y＋3)＋] 　�。�[(y－3)＋＋6]≥(2＋6)＝． 　　∴當(dāng)且僅當(dāng)y－3＝即y＝4時，上式取等號，此時x＝－4．故M(－4，4)． 　　(Ⅲ)命題正確 　　由f(x)為奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)，取x＝0，得f(0)＝0即(0，0)為函數(shù)的一個不動點(diǎn)． 　　設(shè)函數(shù)f(x)除0以外還有不動點(diǎn)(x，x)(x≠0)，則f(x)＝x． 　　又f(－x)＝－f(x)＝－x，故(－x，－x)也為函數(shù)不動點(diǎn)． 　　綜上若定義在R上的奇函數(shù)f(x)圖像上存在有限個不動點(diǎn)，則不動點(diǎn)有奇數(shù)個．　　例如f(x)＝x3－x．