【題目】已知函數(shù)f(x)=(2-a)(x-1)-2lnx(a∈R).

(1)若曲線g(x)=f(x)+x上點(diǎn)(1,g(1))處的切線過點(diǎn)(0,2),求函數(shù)g(x)的單調(diào)減區(qū)間;

(2)若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(0, )內(nèi)無零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的最小值.

【答案】(1)函數(shù)在(0,2)上遞減(2)函數(shù)在上無零點(diǎn),a的最小值為2-4ln2

【解析】試題分析:(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),計(jì)算g′(1),求出a的值,從而求出g(x)的遞減區(qū)間即可;

(2)問題轉(zhuǎn)化為對x(0, ),a2﹣恒成立,令l(x)=2﹣,x(0, ),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的最小值即可.

試題解析:

(1)g(x)=(3﹣a)x﹣(2﹣a)﹣2lnx,

g′(x)=3﹣a﹣,g′(1)=1﹣a,

g(1)=1,1﹣a==﹣1,解得:a=2,

g′(x)=3﹣2﹣=0,解得:0x2,

∴函數(shù)g(x)在(0,2)遞減;

(2)f(x)0在(0, 恒成立不可能,

故要使f(x)在(0, )無零點(diǎn),只需任意x(0, ),f(x)0恒成立,

即對x(0, ),a2﹣恒成立,

h(x)=2﹣,x(0, ),

h′(x)=,

再令m(x)=﹣2,x(0, ),

m′(x)=0,

m(x)在(0, )遞減,于是m(x)m()=2﹣2ln20,

從而h′(x)0,于是h(x)在(0, )遞增,

h(x)h()=2﹣4ln2,

故要使a2﹣恒成立,只要a[2﹣4ln2,+∞),

綜上,若函數(shù)y=f(x)在0, 上無零點(diǎn),則a的最小值是2﹣4ln2.

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