Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=ax2﹣（2a+1）x+lnx（a∈R） （Ⅰ）當(dāng)a＞0時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=f（x）+2ax，若g（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x1 ， x2 ， 且不等式g（x1）+g（x2）＜λ（x1+x2）恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由函數(shù)f（x）=ax2﹣（1+2a）x+lnx（a∈R，x＞0），

可得f′（x）=2ax﹣（2a+1）+ = =

①當(dāng)a= 時(shí)，x＞0，f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立．函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，+∞）；

②當(dāng)a＞ 時(shí)，x∈（0， ），（1，+∞）時(shí)，f′（x）≥0，x 時(shí)，f′（x）≤0

∴此時(shí)f（x）的增區(qū)間為；（0， ），（1，+∞），減區(qū)間為：（ ）

③當(dāng)0＜a＜ 時(shí)，x∈（0，1），（ ，+∞）時(shí)，f′（x）≥0，x∈（1， ）時(shí)，f′（x）≤0

∴此時(shí)f（x）的增區(qū)間為：（0，1），（ ，+∞），減區(qū)間為：（1， ）；

（Ⅱ）g（x）=f（x）+2ax=ax2﹣x+lnx，g′（x）=2ax﹣1+ =

∵g（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，

∴x1，x2是方程2ax2﹣x+1=0（x＞0）的兩個(gè)不相等實(shí)根，

∴△=1﹣4a＞0，且x1+x2= ＞0，x1x2= ＞0，

由g（x1）+g（x2）＜λ（x1+x2），

由g（x1）+g（x2）＜λ（x1+x2），得（ax12﹣x1+lnx1）+（ax22﹣x2+lnx2）＜λ（x1+x2），

整理得：a（x12+ ）﹣（x1+x2）+ln（x1x2）＜λ（x1+x2），

將x1+x2= ＞0，x1x2= ＞0代入得上式得

因?yàn)?＜a ，所以λ＞﹣ ﹣2a﹣2aln2a

令h（a）=﹣ ，（0＜a ）

h′（x）=﹣2﹣2ln2a﹣2=﹣2（ln2a+2），令h′（a）=0，得a=

a 時(shí)，h′（a）＞0，a ），h′（a）＜0

∴h（a）在（0， ）遞增，在（ ，+∞）遞減．

∴ ．

∴ ．

【解析】（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（Ⅱ）求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，求出x1+x2=a＞0，x1x2=a＞0，∴△=1﹣4a＞0，且x1+x2= ＞0，x1x2= ＞0，

由g（x1）+g（x2）＜λ（x1+x2），問(wèn)題轉(zhuǎn)化為所以λ＞﹣ ﹣2a﹣2aln2a在（0， ）恒成立，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出λ的范圍即可．

【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值即可以解答此題．