Question

17．已知兩定點(diǎn)A（-2，0），B（1，0）．曲線C上的任意一點(diǎn)P滿足|PA|=2|PB|．
（I）求曲線C的方程：
（II）直線l過點(diǎn)D（4，6）且與曲線C相切，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)P（x，y），運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式，平方化簡可得曲線C的方程；
（2）求得曲線為圓，求得圓心和半徑，討論直線l的斜率不存在和存在，設(shè)y-6=k（x-4），運(yùn)用直線和圓相切的條件：d=r，以及點(diǎn)到直線的距離公式，化簡整理計(jì)算即可得到所求直線l的方程．

解答 解：（1）設(shè)P（x，y），由|PA|=2|PB|，
可得$\sqrt{（x+2）^{2}+{y}^{2}}$=2$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$，
平方可得x²+y²+4x+4=4（x²+y²-2x+1），
化簡可得x²+y²-4x=0，
即有（x-2）²+y²=4，
則曲線C的方程為圓（x-2）²+y²=4；
（2）圓（x-2）²+y²=4的圓心為C（2，0），半徑為2，
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，設(shè)為x=4，
圓心C到直線x=4的距離為2，顯然成立；
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)為y-6=k（x-4），
即為kx-y+6-4k=0，
由直線和圓相切，可得d=r，
即$\frac{|2k-0+6-4k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=2，
解方程可得k=$\frac{4}{3}$，
即有直線l的方程為4x-3y+2=0．
綜上可得，直線l的方程為x=4或4x-3y+2=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡方程的求法，注意運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式，考查切線的方程的求法，注意運(yùn)用直線和圓相切的條件：d=r，注意考慮切線的斜率不存在的情況，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題．