若數(shù)列An:a1,a2,…an(n≥2)滿足|ak+1-ak|=1,(k=1,2,…,n-1),則稱An為E數(shù)列,
(Ⅰ)寫出滿足a1=a5=0的所有E數(shù)列A5
(Ⅱ)若a1=13,n=2000,求證:若An是遞增數(shù)列,則an=2012;反之亦成立.
【答案】分析:(Ⅰ)根據(jù)題意,a1=a5=0,a2=±1,a4=±1,再根據(jù)|ak+1-ak|=1求出a3=0,可以得出符合題設(shè)的E數(shù)列A5
(Ⅱ)從必要性入手,由單調(diào)性可以去掉絕對值符號,可得是An公差為1的等差數(shù)列,再證充分性,由遞增數(shù)列的性質(zhì)得出不等式,再利用同向不等式的累加,可得ak+1-ak=1>0,An是遞增數(shù)列.
解答:解:(Ⅰ)∵數(shù)列E數(shù)列An滿足|ak+1-ak|=1,
∴滿足a1=a5=0的所有E數(shù)列A5四個:①0,1,0,1,0;
②0,-1,0,-1,0;③0,-1,0,1,0;④0,1,0,-1,0.
(Ⅱ)∵E數(shù)列An是遞增數(shù)列,∴ak+1-ak=1(k=1,2,…,1999),
∵a1=13,n=2000,
∴An是首項為13,公差為1的等差數(shù)列,
∴a2000=13+(2000-1)×1=2012.
反之:由于a2000-a1999≤1,
a1999-a1998≤1,

a2-a1≤1,
所以a2000-a1≤1999,即a2000≤a1+1999,
又因為a1=13,a2000=2012,
所以a2000≤a1+1999.
故ak+1-ak=1>0(k=1,2,…,1999),即An是遞增數(shù)列.
綜上所述,若An是遞增數(shù)列,則an=2012;反之亦成立.
點評:本題以數(shù)列為載體,考查了不等式的運用技巧,屬于難題,將題中含有絕對值的等式轉(zhuǎn)化為不等式是解決此題的關(guān)鍵.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若數(shù)列{an}滿足a1=1,
an+1
an
=
n+1
n
,則此數(shù)列是( 。
A、等差數(shù)列
B、等比數(shù)列
C、既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列
D、既非等差數(shù)列又非等比數(shù)列

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•鎮(zhèn)江一模)已知函數(shù)f(x)=ln(2-x)+ax在區(qū)間(0,1)上是增函數(shù).
(1)求實數(shù)a的取值范圍;
(2)若數(shù)列{an}滿足a1∈(0,1),an+1=ln(2-an)+an,n∈N*,證明0<an<an+1<1.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若數(shù)列{an}滿足a1=5,an+1=
a2n+1
2an
+
an
2
(n∈N+),則其前10項和為(  )
A、50B、100
C、150D、200

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)(x∈R,x≠
1
a
)
滿足ax•f(x)=2bx+f(x),a≠0,f(1)=1;且使f(x)=2x成立的實數(shù)x只有一個.
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式;
(Ⅱ)若數(shù)列{an}滿足a1=
2
3
,an+1=f(an),bn=
an
1-an
,n∈N*,證明數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,并求出{bn}的通項公式.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

函數(shù)f(x)=
x+
1
2
,  x≤
1
2
2x-1, 
1
2
<x<1
x-1,   x≥1
,若數(shù)列{an}滿足a1=
7
3
,an+1=f(an),n∈N*,則a2013+a2014=( 。
A、4
B、
5
2
C、
7
6
D、
11
6

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