若數(shù)列An:a1,a2,…an(n≥2)滿足|ak+1-ak|=1,(k=1,2,…,n-1),則稱An為E數(shù)列,
(Ⅰ)寫出滿足a1=a5=0的所有E數(shù)列A5;
(Ⅱ)若a1=13,n=2000,求證:若An是遞增數(shù)列,則an=2012;反之亦成立.
【答案】分析:(Ⅰ)根據(jù)題意,a1=a5=0,a2=±1,a4=±1,再根據(jù)|ak+1-ak|=1求出a3=0,可以得出符合題設(shè)的E數(shù)列A5;
(Ⅱ)從必要性入手,由單調(diào)性可以去掉絕對值符號,可得是An公差為1的等差數(shù)列,再證充分性,由遞增數(shù)列的性質(zhì)得出不等式,再利用同向不等式的累加,可得ak+1-ak=1>0,An是遞增數(shù)列.
解答:解:(Ⅰ)∵數(shù)列E數(shù)列An滿足|ak+1-ak|=1,
∴滿足a1=a5=0的所有E數(shù)列A5四個:①0,1,0,1,0;
②0,-1,0,-1,0;③0,-1,0,1,0;④0,1,0,-1,0.
(Ⅱ)∵E數(shù)列An是遞增數(shù)列,∴ak+1-ak=1(k=1,2,…,1999),
∵a1=13,n=2000,
∴An是首項為13,公差為1的等差數(shù)列,
∴a2000=13+(2000-1)×1=2012.
反之:由于a2000-a1999≤1,
a1999-a1998≤1,
…
a2-a1≤1,
所以a2000-a1≤1999,即a2000≤a1+1999,
又因為a1=13,a2000=2012,
所以a2000≤a1+1999.
故ak+1-ak=1>0(k=1,2,…,1999),即An是遞增數(shù)列.
綜上所述,若An是遞增數(shù)列,則an=2012;反之亦成立.
點評:本題以數(shù)列為載體,考查了不等式的運用技巧,屬于難題,將題中含有絕對值的等式轉(zhuǎn)化為不等式是解決此題的關(guān)鍵.