Question

已知f（x）=lnx，（m＜0），直線l與函數(shù)f（x）、g（x）的圖象都相切，且與函數(shù)f（x）的圖象的切點的橫坐標為1．
（Ⅰ）求直線l的方程及m的值；
（Ⅱ）若h（x）=f（x+1）-g'（x），求函數(shù)h（x）的最大值；
（Ⅲ）求證：對任意正整數(shù)n，總有．

Answer 1

解：（Ⅰ）依題意知直線l的斜率，
∵f（1）=0，故直線l與函數(shù)f（x）的圖象的切點坐標是（1，0），
∴直線l的方程為y=x-1；
又∵直線l與g（x）的圖象也相切，
∴由得x²+2（m-1）x+9=0，
令△=（m-1）²-9=0，∵m＜0
∴解得m=-2；

（II）∵g'（x）=x+m=x-2，
∴h（x）=f（x+1）-g'（x）=ln（x+1）-x+2，
∴，
令h'（x）＞0，解得-1＜x＜0，令h'（x）＜0，解得x＜-1（舍去）或x＞0，
∴h（x）在（-1，0）上單調(diào)遞增，在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x=0時，h（x）取得最大值h（0）=2；

（Ⅲ）∵由（II）知：當(dāng)x＞-1時，h（x）≤2，即ln（x+1）-x+2≤2，
∴當(dāng)x＞-1時，ln（1+x）≤x，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時等號成立，
∵，故，
∴．
分析：（Ⅰ）求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，把x=1代入導(dǎo)函數(shù)即可求出直線l的斜率，然后把x=1代入f（x）中求出切點的縱坐標，進而得到切點坐標，根據(jù)切點坐標和斜率寫出切線的方程，把切線l的方程與g（x）解析式聯(lián)立，消去y后，得到關(guān)于x的一元二次方程，由直線l與g（x）圖象相切得到根的判別式等于0，列出關(guān)于m的方程，又根據(jù)m小于0，求出方程的解即可得到滿足題意的m的值；
（Ⅱ）求出g（x）的導(dǎo)函數(shù)，且求出f（x+1）的解析式，一起代入h（x）=f（x+1）-g'（x），確定出h（x）的解析式，求出h（x）的導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)大于0求出x的范圍即為函數(shù)的增區(qū)間，令導(dǎo)函數(shù)小于0求出x的范圍即為函數(shù)的減區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的增減性得到h（x）的最大值即可；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，當(dāng)x大于-1時，h（x）小于等于2，把h（x）的解析式代入化簡可得：當(dāng)x大于-1時，ln（1+x）小于等于x，且x=0取等號，因為大于0，代入化簡得，然后分別令n=1，2，…n，列舉出各項得到n個不等式，左右相加后，右邊利用等比數(shù)列的前n項和公式化簡后，得證．
點評：此題考查學(xué)生會利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點切線方程的斜率，掌握導(dǎo)數(shù)在最值問題中的運用，靈活運用等比數(shù)列的前n項和公式化簡求值，是一道中檔題．