Question

某產品生產x單位產品時的總成本函數為C(x)=300+

1

12

x3-5x2+170x．每單位產品的價格是134元，求使利潤最大時的產量．

Answer 1

分析：設總收益R（x）=134x，利潤L（x）=R（x）-C（x），在定義域內用導數可求利潤函數的最大值．

解答：解：由題意，生茶x單位產品時，總收益R（x）=134x，
利潤為：L（x）=R（x）-C（x）=134x-（300+

1

12

x3-5x2+170x）
=-

1

12

x3+5x2-36x-300，其定義域為[0，+∞）．
L′（x）=-

1

4

x2+10x-36=-

1

4

(x-36)(x-4)，
令L′（x）=0，得x₁=4，x₂=36，
又∵L(0)=-300，L(4)=-369

1

3

，L(36)=996，
且當4＜x＜36時，L′（x）＞0，即L（x）單調遞增；當x＞36時，L′（x）＜0，即L（x）單調遞減．∴L（36）=996是L（x）的最大值．
因此工廠生產36單位產品時有最大利潤996元．

點評：本題考查導數在實際問題中的應用，解決關鍵是根據問題背景構造相應的函數模型，從而可運用導數處理．